Question

16．如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B．足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面倾角为30°．有一带电的物体P静止于斜面顶端且P对斜面无压力，若给物体P一瞬时冲量，使其获得水平方向的初速度向右抛出，同时另有一不带电的物体Q从A处由静止开始沿斜面滑下（P、Q均可视为质点），P、Q二物体运动轨迹在同一竖直平面内．一段时间后，物体P恰好与斜面上的物体Q相遇，且相遇时物体P的速度方向与其水平初速度方向的夹角为60°．已知重力加速度为g，求：
（1）P、Q相遇所需的时间；
（2）物体P在斜面顶端受到瞬时冲量后所获得的初速度的大小．

Answer 1

分析 （1）由于物体P静止于顶端时对斜面无压力，可知物体P的重力和电场力平衡，给P一个水平初速度后将做匀速圆周运动，结合题意由几何关系可判断出P偏转了60⁰角，应用牛顿运动定律和周期公式，可求出P、Q相遇所需要的时间．
（2）P做匀速圆周运动，Q沿斜面做匀加速直线运动，画出两物体的轨迹图，由几何知识可知Q的位移S与P的运动半径R相等，由第一问所得到的时间结合匀加速直线运动的规律和圆周运动的半径公式，便可求出P平抛时的速度．

解答 解：（1）物体P静止时对斜面无压力：
mg=qE…①
P获得水平分速度后做匀速圆周运动，由运动半径公式和周期公式有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$…③
P、Q相遇时，P物体转过了60⁰角（如图所示），可解得：
t=$\frac{T}{6}$=$\frac{πR}{3gB}$…④
（2）在时间t内，Q物体在斜面上做匀加速直线运动，加速度及位移为：
a=$\frac{m′gsin30°}{m′}$=0.5g…⑤
S=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑥
P做匀速圆周运动，有：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$…⑦
由几何关系知R=S…⑧
解得：v₀=$\frac{{π}^{2}E}{36B}$
答：
（1）P、Q相遇所需的时间为$\frac{πR}{3gB}$．
（2）物体P在斜面顶端的初速度的大小为$\frac{{π}^{2}E}{36B}$．

点评 对于带电粒子在复合场内运动问题首先要分清楚其运动特点和受力特点．要注意分析题目中的一些隐含条件，比如不计重力的带电粒子在正交的电场和磁场中直线运动时，一定是匀速直线运动；在混合场中做匀速圆周运动时，电场力与重力平衡．对于带电粒子在叠加场内的一般曲线运动问题（如类平抛），通常采用运动的合成与分解的方法来处理问题．还有就是要注意几何关系在解决物理问题中的应用．