Question

15．小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系．（小球的半径远小于R）

Answer 1

分析 由重力和支持力的合力提供向心力，结合向心力的速度表达式，和周期表达式可得夹角与速度和周期的关系．

解答 解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力F_N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平．如图所示，有：
mgtanθ=$\frac{m{v}^{2}}{Rsinθ}$=mRsinθ（$\frac{2π}{T}$）²，
由此可得：
$v=\sqrt{gRtanθsinθ}$，
$T=2π\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}=2π\sqrt{\frac{h}{g}}$．
 （式中h为小球轨道平面到球心的高度）可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小．
答：θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小．

点评 该题的是考察圆周运动的向心力来源，以及会各种关于圆周运动向心力的表达式．