Question

1．如图1，两个圆心为（±r，0 ），半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r的圆把空间切成几个区域．空间中有如图1所示的磁场．其磁感应强度大小均为B=B₀$\frac{t}{{t}_{0}}$，即随时间线性变化．

（1）求两圆相交部分电场分布．
（2）求如图2所示电路中各电压表（均是上端接入红表笔下端黑表笔）的读数和U_a，U_b，其中电压表电阻为2R₀．

Answer 1

分析 （1）依据法拉第电磁感应定律，可以得到两个圆上产生的电流，依据通电导线产生的电场分布可以判定两圆相交部分电场分布．
（2）画出等效电路图，由法拉第电磁感应定律可得感应电动势，依据欧姆定律可以分析电表读数，以及a，b点的电压．

解答 解：（1）由于磁感应强度大小均为B=B₀$\frac{t}{{t}_{0}}$是随时间均匀增加的，故有法拉第电磁感应定律可知两个线圈的电流方向为，左边的圆电流是逆时针；右边的圆电流是顺时针，在相交部分产生的电场如图：
．

（2）等效电路如图：

由法拉第电磁感应定律可得：
$E=\frac{△∅}{△t}=\frac{△B•S}{△t}$=$B′•S=\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}•$S，
由几何关系可得，有磁场的面积为：
$S=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）}{9}$，
可得：
$E=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$，
电压表V₂的示数为电源电动势，即：${U}_{2}=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$，
由电路图可知，V₁，V₃电压与电阻成正比，有：
${U}_{1}={U}_{3}=\frac{2}{5}E=\frac{4{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{45{t}_{0}}$．
a接电源负极，b接电源正极，则以负极为零势点，b电势为电源电动势，即：U_a=0；U_b=$\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$．
答：（1）两圆相交部分电场分布如图．
（2）如图2所示电路中各电压表（均是上端接入红表笔下端黑表笔）的读数${U}_{2}=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$，${U}_{1}={U}_{3}=\frac{4{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{45{t}_{0}}$；U_a=0；U_b=$\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$．

点评 该题的难点为等效电路图的建立，在电磁感应、闭合电路欧姆定律当中，正确建立等效电路图的是一个较高难度的技能；