Question

（16分）

如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：

   （1）待定系数β；

   （2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；

   （3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。

Answer 1

（16分）

解（1）由  得

      

   （2）设A、B碰撞后的速度分别为v₁、v₂，则

        

         设向右为正、向左为负，解得

，方向向左

，方向向右

设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N′，方向竖直向上为正、向下为负.

则

   N′=—N=—4.5mg，方向竖直向下

        （3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V₁、V₂，则

解得

（另一组解：V₁=—v₁，V₂=—v₂不合题意，舍去）

由此可得：

当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；

当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；