Question

8．如图所示，xoy平面内，在y轴左侧某区域内有一个方向竖直向下，水平宽度为l=2$\sqrt{3}$×10^-2m，电场强度为E=1.0×10⁴N/C的匀强电场．在y轴右侧有一个圆心位于x轴上，半径为r=0.01m的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B=0.01T，坐标为 x₀=0.04m处有一垂直于x轴的面积足够大的荧光屏PQ．今有一束带正电的粒子从电场中某点沿+x方向射入电场，穿过电场时恰好通过坐标原点，速度大小为v=2×10⁶m/s，方向与x轴成30°角斜向下，若粒子的质量为m=1.0×10^-20kg，电量为q=1.0×10^-10C，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力．试求：
（1）粒子射入电场时的坐标位置和初速度大小；
（2）若圆形磁场可沿x轴移动，圆心O'在x轴上的移动范围为[0.01m，+∞），由于磁场位置的不同，导致该粒子打在荧光屏上的位置也不同，试求粒子打在荧光屏上的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子沿AB方向进入电场后做类平抛运动，将射出电场的速度进行分解，根据沿电场方向上的速度，结合牛顿第二定律求出运动的时间，从而得出类平抛运动的水平位移和竖直位移，即得出射入电场的坐标．射出速度在垂直于电场方向上的速度等于初速度的大小；
（2）随着磁场向右移动荧光屏光点位置逐渐下移，当v方向与磁场圆形区域相切，此后，粒子将打在荧光屏的同一位置．根据粒子在匀强磁场中的半径公式，结合几何关系求出粒子打在荧光屏上的范围．

解答 解：（1）粒子沿AB方向进入电场后做类平抛运动，在O点将v沿x、y方向分解得：
v_x=vcos30°．
v_y=vsin30°
根据牛顿第二定律有：
a=$\frac{qE}{m}=\frac{1×1{0}^{-10}×1{0}^{4}}{1{0}^{-20}}m/{s}^{2}=1×1{0}^{14}m/{s}^{2}$
根据t=$\frac{{v}_{y}}{a}=\frac{2×1{0}^{6}×\frac{1}{2}}{1×1{0}^{14}}s=1×1{0}^{-8}s$．
则有：
x=${v}_{x}t=2×1{0}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1×1{0}^{-8}m=\sqrt{3}×1{0}^{-2}$m．
y=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2a}=\frac{（1×1{0}^{6}）^{2}}{2×1{0}^{14}}m$=5×10^-3m．
则粒子射入电场时的坐标位置为（$\sqrt{3}×1{0}^{-2}m$，5×10^-3m）．
初速度为：${v}_{0}={v}_{x}=2×1{0}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}m/s$=$\sqrt{3}×1{0}^{6}m/s$．
（2）洛仑兹力提供向心力，则有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}$=2×10^-2m
由几何关系知此时出射位置为D点，轨迹如图，荧光屏最高端的纵坐标为：
${L}_{1}=2rtan30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}r=0.0115m$
随着磁场向右移动荧光屏光点位置逐渐下移，当v方向与磁场圆形区域相切，此后，粒子将打在荧光屏的同一位置．
其最低的纵坐标为：${L}_{2}=4rtan30°=\frac{4\sqrt{3}}{3}r≈0.0231m$．
所以打在屏上的范围为：[-0.0231m，0.0115m]
答：（1）粒子射入电场时的坐标位置为（$\sqrt{3}×1{0}^{-2}m$，5×10^-3m）．初速度为$\sqrt{3}×1{0}^{6}m/s$．
（2）粒子打在荧光屏上的范围为[-0.0231m，0.0115m]．

点评 本题考查粒子在电场中类平抛运动和在磁场中的匀速圆周运动，对学生几何能力要求较高，能够找出问题的临界情况是解决本题的关键．