Question

如图所示的轨道由半径为R的1/4光滑圆弧轨道AB、竖直台阶BC、足够长的光滑水平直轨道CD组成。小车的质量为M，紧靠台阶BC且上表面水平与B点等高。一质量为m的可视为质点的滑块自圆弧顶端A点由静止下滑，滑过圆弧的最低点B之后滑到小车上。已知M＝4m，小车的上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，小车的上表面左端点P与Q点之间是粗糙的，滑块与PQ之间表面的动摩擦因数为μ，Q点右侧表面是光滑的。求：

(1)滑块滑到B点的瞬间对圆弧轨道的压力大小。

(2)要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则小车上PQ之间的距离L应在什么范围内？(滑块与弹簧的相互作用始终在弹簧的弹性范围内)

Answer 1

 (1)设滑块滑到B点的速度大小为v，到B点时轨道对滑块的支持力为N，由机械能守恒定律有：  mgR＝mv2①

滑块滑到B点时，由牛顿第二定律有：  N－mg＝m②

联立①②式解得：N＝3mg③

根据牛顿第三定律，滑块在B点对轨道的压力大小为  N′＝3mg.

(2)滑块最终没有离开小车，滑块和小车必然具有共同的末速度设为u，滑块与小车组成的系统动量守恒，有  mv＝(M＋m)u④

若小车PQ之间的距离L足够大，则滑块可能不与弹簧接触就已经与小车相对静止，设滑块恰好滑到Q点，由功能关系得  μmgL＝mv2－(M＋m)u2⑤

联立①④⑤式解得：L＝⑥

若小车PQ之间的距离L不是很大，则滑块必然挤压弹簧，由于Q点右侧是光滑的，滑块必然被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由功能关系得

2μmgL＝mv2－(M＋m)u2⑦

联立①④⑦式解得：L＝⑧

综上所述并由⑥⑧式可知，要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有离开小车，PQ之间的距离L应满足的范围是：≤L≤.

(1)3mg  (2) ≤L≤