Question

17．如图所示，固定的长直水平轨道MN与位于竖直平面内的光滑半圆轨道相接，轨道半径为R，PN恰好为该圆的一条竖直直径．可视为质点的物块A以某一初速度经过M点，沿轨道向右运动，恰好能通过P点．物块A的质量m．已知物块A与MN轨道间的动摩擦因数为μ，轨道MN长度为l，重力加速度为g．求：
（1）物块运动到P点时的速度大小v_P；
（2）物块运动到N点对轨道的压力多大；
（3）物块经过M点时的初速度．

Answer 1

分析 （1）物块恰好能通过P点，物块B圆周运动重力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出的速度．
（2）物块从N到P过程只有重力做功，应用动能定理可以求出物块在N点的速度，然后由牛顿第二定律即可求出物块受到的支持力，由牛顿第三定律说明；
（3）应用动能定理可以求出其运动的初速度．

解答 解：（1）物体在竖直平面内做圆周运动，在P 点时重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$，
解得：v_P=$\sqrt{gR}$；
（2）物体沿圆轨道向上运动过程只有重力做功，由动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv_N²，
解得：v_N=$\sqrt{5gR}$；
在N点：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{N}^{2}}{R}$
联立得：F_N=6mg
根据牛顿第三定律可知，物块对地面的压力大小也是6mg．
（3）物块A向右运动的过程中只有摩擦力做功，则：$-μmgL=\frac{1}{2}mv_N^2-\frac{1}{2}mv_M^2$
联立得：${V_M}=\sqrt{5gL-2μgL}$
答：（1）物块运动到P点时的速度大小是$\sqrt{gR}$；
（2）物块运动到N点对轨道的压力是6mg；
（3）物块经过M点时的初速度是$\sqrt{5gL-2μgL}$．

点评 本题考查竖直平面内的圆周运动，分析清物体运动过程是解题的前提，根据题意求出物块在P点的速度是解题的关键，应用牛顿第二定律、动能定理与机械能守恒可以解题．