Question

如图所示，在水平方向，与纸面垂直的足够大的匀强磁场中，有一足够长的U 形金属框架abcd以v₁=2m/s的速度向右做切割磁感线运动，在框架abcd上下两板内产生一个匀强电场．有一个带电油滴以水平速度v₂从P点（

.

ap

=

L

2

）向左射入框架内做匀速圆周运动（g=10m/s²）．求：
（1）油滴必须带什么性质的电荷？油滴做匀速圆周运动的周期是多少？
（2）为使油滴不跟框架壁相碰，油滴速度v₂和框架宽度L的比值

v2

L

应满足什么条件？
（3）为使油滴不离开电场，并且能够在框架中完整地运动一周，速度v₂ 与v₁要满足什么关系？（只需列出关系式，无需化简）

Answer 1

分析：（1）根据右手定则判断上下极板电势的高低，抓住油滴电场力和重力平衡确定电荷的电性．根据粒子电场力和重力平衡，以及油滴做圆周运动的周期公式求出油滴的周期．
（2）根据带电粒子在磁场中半径公式求出粒子做圆周运动的半径，结合粒子做圆周运动的直径小于

L

2

，求出油滴速度v₂和框架宽度L的比值

v2

L

应满足的条件．
（3）油滴顺时针旋转，若v₂的水平分速度大小等于v₁时，油滴不离开电场，则不离开框架，结合几何关系以及速度的关系求出速度v₂ 与v₁要满足的关系．

解答：解：（1）由右手定则判断上、下极板电势的高低，再由油滴的重力与力平衡可知油滴带负电．                           ①
两极间电压U=BLv₁，板间场强E=

U

L

=Bv₁                 
油滴做匀速圆周运动  mg=qE=qBv₁　                  　
所以B=

mg

qv1

②
油滴做匀速圆周运动的周期为：
T=

2πm

Bq

=

2πmqv1

qmg

=

2πv1

g

=

2π

5

s                   ③
（2）油滴做匀速圆周运动：
Bqv₂=

m v 2 2

R

R=

mv2

qB

=

mv2

q

?

qv1

mg

=

v1v2

g

④
油滴不与框相碰应满足条件：2R＜

L

2

即

2v1v2

g

＜

L

2

所以

v2

L

＜

g

4v1

=1.25（s^-1）                           ⑤
（3）油滴顺时针旋转，若v₂的水平分速度大小等于v₁时，见图所示，油滴末离开电场，则不离开框架．
v₂sinθ=v₁                       ⑥
t=

3 2 π-θ

ω

=

( 3 2 π-θ)R

v2

⑦
又v₁t＞Rcosθ                    ⑧
∴v₁ （

3

2

π-θ）＞v₂cosθ
即v₁（

3

2

π-arcsin

v1

v2

）＞

v 2 2 - v 2 1

⑨
答：（1）油滴带负电，油滴做匀速圆周运动的周期为

2π

5

s．
（2）为使油滴不跟框架壁相碰，油滴速度v₂和框架宽度L的比值

v2

L

应满足

v2

L

＜

g

4v1

=1.25（s^-1）．
（3）速度v₂ 与v₁要满足v₁（

3

2

π-arcsin

v1

v2

）＞

v 2 2 - v 2 1

．

点评：解决本题的关键知道粒子在复合场中重力和电场力平衡，靠洛伦兹力提供向心力，结合粒子在磁场中运动的半径公式和周期公式进行求解．