Question

（2013?怀化二模）如图所示，在直角坐标xOy平面y轴左侧（含y轴）有一沿y轴负向的匀强电场，一质量为m，电量为q的带正电粒子从x轴上P处以速度ν₀沿x轴正向进入电场，从y轴上Q点离开电场时速度变为2ν₀，Q点坐标为（0，-d），在y轴右侧有一与坐标平面垂直的矩形匀强磁场区域（图中未画出，粒子过Q点继续运动一段距离后才进入磁场区域），磁场磁感应强度大小B=

mv0

qd

，粒子能从坐标为（0，d）的M点沿x轴负向再进入电场．不计粒子重力．
（1）求粒子进入磁场时速度方向与y轴负向的夹角θ和电场强度E的大小；
（2）绘出粒子P-M运动的轨迹图，求粒子进入磁场至M点的运动时间；
（3）求矩形匀强磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）由粒子进入磁场速度为2v₀，由几何关系可得角度关系．带电粒子进入匀强电场后，受重力和电场力，由动能定理可得电场强度
（2）进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，由左手定则可以判定受力，进而确定其转动方向，作图可得运动轨迹，由运动轨迹的几何关系可得圆心角，进而得到圆周运动的时间，DM段粒子做匀速运动可得此段的时间，相加得总时间．
（3）由运动轨迹图，可以找出磁场边长的最小值，可得最小面积．

解答：（1）设粒子从Q点离开电场时速度大小为v，
由粒子在匀强电场中做类平抛运动，故其水平速度不变，由几何关系得：sinθ=

v0

2v0

=

1

2

，解得：θ=30°
由动能定理得：qEd=

1

2

mν2-

1

2

m

ν

2 0

解得：E=

3m v 2 0

2qd

（2）设粒子从C点进入、D点离开矩形匀强磁场区域．
粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r，圆心为O₁，如图所示．

由洛伦兹力提供向心力，得：qvB=

mv2

r

解得 r=

mv

qB

=2d
设粒子在磁场中做匀速圆周运动时间为t₁，D到M时间为t₂
由图中的几何关系可得圆周运动的圆心就为：

4π

3

圆周运动的周期为：T=

2πr

2v0

=

πr

v0

故圆周运动时间为：t1=

4πr

3v

=

4πd

3ν0

DM段为匀速运动故时间为：t2=

DM

2ν0

=

2 3 d

3ν0

粒子从进入磁场到M的总时间：t=t1+t2=

(4π+2 3) d

3v0

（3）若矩形磁场区域的面积最小，则如图虚线区域：
可得长边：L₁=2r=4d                       
短边：L₂=r+rsinθ=3d               
磁场区域的最小面积：S=L1L2=12d2
答：
（1）粒子进入磁场时速度方向与y轴负向的夹角θ=30°，电场强度E的大小E=

3m v 2 0

2qd

；
（2）绘出粒子P-M运动的轨迹图，求粒子进入磁场至M点的运动时间t=

(4π+2 3) d

3v0

；
（3）求矩形匀强磁场区域的最小面积S=12d²．

点评：本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．