Question

15．一平板小车静止于光滑水平面上，其右端恰好和一个$\frac{1}{4}$光滑圆弧固定轨道AB的底端B等高对接，如图所示．已知小车质量M=3kg，长L=2.1m，圆弧轨道半径R=0.8m．现将一小滑块a由轨道顶端A静止释放，a滑到低端B后与停在B端的小滑块b发生弹性碰撞，a、b可视为质点，其质量都为m=1kg，小车上表面的动摩擦因数μ=0.3，求：（取g=10m/s²）
（1）滑块a到达底端B时的速度大小v₀及轨道对a的支持力N的大小；
（2）a、b碰后瞬间的速度大小v_a、v_b；
（3）通过计算判断滑块b能否滑离小车．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出滑块a从A点运动到B点时的速度，在B点，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对a的支持力．
（2）a、b发生弹性碰撞，由系统的动量守恒定律和机械能守恒定律列式求解碰后瞬间两球的速度．
（3）假设b不能滑离小车，最终两者达到共速，根据动量守恒和能量守恒求解b与小车的相对位移，再与车长比较，即可判断．

解答 解：（1）a从A端下滑到B端的过程机械能守恒，有
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=4m/s
在B点，根据牛顿第二定律有
  N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 N=30N
（2）a、b发生弹性碰撞，满足动量守恒和机械能守恒，取向左为正方向，则动量守恒定律和机械能守恒定律分别得：
   mv₀=mv_a+mv_b
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_a^2+\frac{1}{2}mv_b^2$
解得 v_a=0；v_b=4m/s
（3）假设b不能滑离小车，最终两者达到共速v，b相对小车滑行的距离为d．
根据动量守恒和能量守恒有
   mv_b=（M+m）v
   $μmgd=\frac{1}{2}mv_b^2-\frac{1}{2}（m+M）v_{\;}^2$
解得 d=2m＜L=2.1m
所以假设成立，即b不能滑离小车．
答：
（1）滑块a到达底端B时的速度大小v₀是4m/s，轨道对a的支持力N的大小是30N；
（2）a、b碰后瞬间的速度大小v_a、v_b分别为0和4m/s．
（3）滑块b不能滑离小车．

点评 本题按时间顺序分析小球的运动情况，把握各个过程的物理规律是关键．要知道弹性碰撞遵守两大守恒定律：动量守恒定律和机械能守恒定律，两球质量时会交换速度．