Question

10．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在形式之一：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每颗星的质量均为M，则（　　）

• A． 环绕星运动的线速度为$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
• B． 环绕星运动的线速度为$\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$
• C． 环绕星运动的周期为4πR$\sqrt{\frac{R}{5GM}}$
• D． 环绕星运动的周期为2πR$\sqrt{\frac{R}{GM}}$

Answer 1

分析 对于某一个环绕星而言，受到两个星的万有引力，两个万有引力的合力提供环绕星做圆周运动的向心力．

解答 解：对某一个环绕星，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
$G\frac{{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{M}_{\;}^{2}}{（2R）_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=M{ω}_{\;}^{2}R=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，
解得：$v=\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$，$ω=\sqrt{\frac{5GM}{4{R}_{\;}^{3}}}$，$T=4π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{5GM}}$=$4πR\sqrt{\frac{R}{5GM}}$，故BC正确，AD错误；
故选：BC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，两个万有引力的合力提供环绕星做圆周运动的向心力，选择合适的向心力公式列式求解．