Question

两行星A和B是两个均匀球体，行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期T_a；行星B的卫星b沿圆轨道运行的周期为T_b．设两卫星均为各中心星体的近表卫星，而且T_a：T_b=1：4，行星A和行星B的半径之比R_A：R_B=1：2，则行星A和行星B的密度之比ρ_A：ρ_B=______，行星表面的重力加速度之比g_A：g_B=______．

Answer 1

人造地球卫星的万有引力充当向心力，即：
G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

①
体积为：
V=

4πR3

3

②
解得密度为：
ρ=

M

V

=

3π

GT2

故AB密度之比为：
ρA：ρB=12：42=1：16
忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：
G

Mm

R2

=mg③
由①③解得：
g=

4π2R

T2

所以两行星表面处重力加速度之比为：
gA：gB=

1

12

：

2

42

=8：1
故答案为：16：1；8：1