Question

（1）“嫦娥一号”正在探测月球，若把月球和地球都视为质量均匀的球体，已知月球和地球的半径之比r₁：r₂=1：3.6，月球表面和地球表面的重力加速度之比g₁：g₂=1：6，根据以上数据及生活常识，试估算：分别绕月球和地球运行的同步卫星的轨道半径之比R₁：R₂（结果可以保留根号）
（2）若取月球半径r₁=1.7×10³km，月球表面处重力加速度g₁=1.6m/s²，设想今后开发月球的需要而设法使月球表面覆盖一层一定厚度的大气层，使月球表面附近的大气压也等于p₀=1.0×10⁵Pa，且大气层厚度比月球半径小得多，试估算应给月球表面添加的大气层的总质量M．（保留两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）月球的自转周期约为30天，地球的自转周期为1天，无论在地球还是在月球表面，都有物体的重力约等于其万有引力，同步卫星运动过程中，万有引力充当其向心力，
（2）大气层厚度比月球半径小得多，可认为大气紧贴月球表面，大气层稳定时，大气压强从宏观上看等于大气重力在单位月球表面的压力

解答：解：（1）设月球质量为M₁，地球质量为M₂，则质量为m的物体分别在月球和地球表面时的重力与万有引力相等，有：

GM1m

r 2 1

=mg₁

GM2m

r 2 2

=mg₂
而且，M₁=ρ₁

4

3

πr

3 1

M₂=ρ₂

4

3

πr

3 2

对于同步卫星，由牛顿第二定律得：

GM1m

R 2 1

=mR₁(

2π

T1

)2

GM2m

R 2 2

=mR₂(

2π

T2

)2
其中，T₁=30天，T₂=1天
由以上解得，

R1

R2

=

3	12

（2）大气层稳定时，大气压强从宏观上看等于大气重力在单位月球表面的压力，即：
p₀=

Mg1

4 πr 2 1

所以，M=

4 πr 2 1 p0

g1

=

1.0×105×4×3.14×(1.7×106)2

1.6

kg=2.3×10¹⁸kg
答：（1）轨道半径之比为

3	12

（2）大气层的总质量M为2.3×10¹⁸kg

点评：（1）注意利用隐含信息，月球的自转周期约为30天，地球的自转周期为1天，球体的体积公式V=

4

3

πr³，球体的表面积公式S=4πr²（2）要灵活选用向心力的各种表达式（3）“同步”是指卫星的运转周期与中心天体的自转周期相同