Question

20．已知半径为r的小球在空气中下落时受到的粘滞阻力f满足如下规律：f=6πηtr，分式中η为空气与小球间的粘滞系数．一同学欲使用传感器通过实验测定粘滞系数，他将一个半径为r₀、质量为m的小球从空中某位置由静止释放，测得小球速度为v₀时，加速度大小为a₀，若忽略空气浮力，已知当地重力加速度为g，求：
（1）粘滞系数η；
（2）若测得小球下落h高度时达到最大速度，求此过程中小球损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）对小球，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）达到最大速度时，加速度为0，阻力等于重力，再结合能量守恒定律列式求解即可．

解答 解：（1）对小球，根据牛顿第二定律得：mg-f₀=ma₀
而f₀=6πηv₀r
解得：$η=\frac{{m（g-{a_0}）}}{{6πr{v_0}}}$
（2）达到最大速度时，加速度为0，则有mg-f_m=0，
而f_m=6πηv_mr
解得：${v_m}=\frac{{g{v_0}}}{{g-{a_0}}}$
根据能量守恒定律得：$mgh-△E=\frac{1}{2}m{v_m}^2-0$
解得：$△E=mgh-\frac{{m{g^2}{v_0}^2}}{{2{{（g-{a_0}）}^2}}}$
答：（1）粘滞系数η为$\frac{m（g-{a}_{0}）}{6πr{v}_{0}}$；
（2）此过程中小球损失的机械能为$mgh-\frac{m{g}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2{（g-{a}_{0}）}^{2}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律以及能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况和受力情况，知道达到最大速度时，加速度为0，难度适中．