Question

如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1)．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计.求：

  (1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度．

  (2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S．

  (3)从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W

Answer 1

（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为a_环

环受合力  F_环=kmg－mg

由牛顿第二定律 F_环=ma_环

由①②得  a_环=（k-1）g，方向竖直向上

（2）设以地面为零势能面，向上为正方向，棒第一次落地的速度大小为v₁

由机械能守恒

解得 

设棒弹起后的加速度a_棒

由牛顿第二定律 a_棒=–（k+1）g

棒第一次弹起的最大高度

解得 

棒运动的路程  S=H+2H₁=

（3）解法一

棒第一次弹起经过t₁时间，与环达到相同速度v’₁

环的速度 v’₁=-v₁+a_环t₁

棒的速度v^’₁=v₁+a_棒t₁

环的位移

棒的位移

解得 

棒环一起下落至地

解得

同理，环第二次相对棒的位移

环相对棒的总位移

X=x₁+x₂+……+x_n+……

W=kmgx

得

解法二

设环相对棒滑动距离为l

根据能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl

摩擦力对棒及环做的总功

W=-kmgl

解得