Question

13．如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为2m的重物，另一端系一质量为m、电阻为R的金属杆．在倾斜平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，导轨平面与水平面夹角θ=30°，在QF之间连接有阻值也为R的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为B₀的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦和接触电阻，重力加速度为g．求：
（1）重物匀速下降的速度v；
（2）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（3）将重物下降h时的时刻记作t=0，速度计为v₀，若从t=0开始磁感应强度逐渐减少，且金属杆中始终不产生感应电流，试写出磁感应强度的大小B随时间t变化的关系．

Answer 1

分析 （1）重物匀速运动时，拉力等于重物的重力，对导体棒分析，根据平衡，结合安培力、切割产生的感应电动势公式和欧姆定律求出重物匀速下降的速度．
（2）根据能量守恒求出整个回路产生的热量，从而得出电阻R上产生的热量．
（3）抓住磁通量不变，结合磁通量公式求出磁感应强度大小B随时间的变化关系．

解答 解：（1）当重物匀速下降时，绳子的拉力为：T=2mg，
对导体棒，有：$T=mgsin30°+\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{R+R}$，
解得：v=$\frac{3mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）根据能量守恒得：
$2mgh-mghsin30°=Q+\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$，
解得整个回路产生的热量为：
Q=$\frac{3}{2}mgh-\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$，
则电阻R中产生的焦耳热为：
${Q}_{R}=\frac{1}{2}Q$=$\frac{3}{4}mgh-\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
（3）若不产生感应电流，则穿过回路的磁通量不变，导体棒不受安培力，
此时导体棒上滑的加速度为：
a=$\frac{2mg-mgsin30°}{3m}=\frac{1}{2}g$，
t=0时刻穿过回路磁通量为：Φ₀=B₀hL
t时刻穿过回路的磁通量为：Φ=BL（x+h），
x=${v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
根据Φ=Φ₀得：
B=$\frac{{B}_{0}h}{{v}_{0}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$．
答：（1）重物匀速下降的速度为$\frac{3mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）电阻R中产生的焦耳热为$\frac{3}{4}mgh-\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
（3）磁感应强度的大小B随时间t变化的关系为B=$\frac{{B}_{0}h}{{v}_{0}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$．

点评 本题分别从力和能量两个角度研究电磁感应现象，关键是计算安培力和分析能量如何变化，以及把握没有感应电流产生的条件．