Question

16．如图所示，两根竖直固定放置的无限长光滑金属导轨，电阻不计，宽度为L．导轨上接触良好地紧贴两根长度也为L 的金属杆．已知上端金属杆 cd固定，电阻为R₀，质量为2m；下方金属杆ab 可以沿导轨自由滑动，质量为m电阻为2R₀．整个装置处于垂直于导轨平面的匀强磁场中．当金属杆ab由静止开始下落距离 h时，其重力的功率刚好达到最大，设重力的最大功率为P．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）金属杆ab从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，金属杆cd产生的热量；
（3）若当ab杆重力功率最大时将cd杆释放，试求cd杆释放瞬间两杆各自的加速度．

Answer 1

分析 （1）金属杆ab重力的功率刚好达到最大时速度最大，做匀速运动，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力得到安培力的表达式，由公式P=Fv，得到安培力，再由平衡条件求解．
（2）运用能量守恒定律列式，求出金属棒从静止开始下降高度h过程中产生的总热量，再求解cd产生的热量；
（3）分析两杆的安培力大小，再由牛顿第二定律求解它们各自的加速度．

解答 解：（1）重力功率最大即金属杆ab的速度最大时，设金属杆下落的最大速度为v_m
有P=mg•v_m 得：v_m=$\frac{P}{mg}$…①
此时，ab杆受到的安培力与重力平衡，即 F_安=mg…②
又   F安=BIL…③
I=$\frac{E}{{R}_{0}+R}$…④
E=Bv_mL…⑤
由①②③④⑤式得：B=$\frac{mg}{L}$$\sqrt{\frac{3{R}_{0}}{P}}$             
（2）据能量守恒定律，金属杆ab从静止开始下降高度h过程中，
有mgh=Q+$\frac{1}{2}$mv_m² 
则Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv_m²…⑥
杆cd上产生的热量为：Q_cd=$\frac{1}{3}$Q…⑦
 由⑥⑦两式得：Q_cd=$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$=$\frac{2{m}^{2}{g}^{3}h-{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$
（3）c d杆释放瞬间速度为零，所以回路中电流仍为cd杆释放前的电流．则此时
ab杆：F_安=mg外力为零，加速度a₁=0         
cd杆：受到的安培力F_安′直向下，大小为F_安′=F_安=mg，cd杆的加速度为：
a₂=$\frac{{2mg+{F}_{安}}^{′}}{2m}$=$\frac{3}{2}$g
加速度方向竖直向下．
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mg}{L}$$\sqrt{\frac{3{R}_{0}}{P}}$；
（2）金属杆ab从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，金属杆cd产生的热量为$\frac{2{m}^{2}{g}^{3}h-{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$；
（3）若当ab杆重力功率最大时将cd杆释放，试求cd杆释放瞬间ab杆的加速度为零；cd杆的加速度为$\frac{3}{2}$g．

点评 本题考查导体切割磁感线时的电动势以及能量问题；要注意明确杆的速度变化以及运动过程能量的转化情况，从而正确选择物理规律求解．