Question

（2010?海淀区一模）如图15所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨MN、M'N'和OP、O'P'间距都是l，二者之间固定有两组竖直半圆形轨道PQM和P'Q'M'，两轨道间距也均为l，且PQM和P'Q'M'的竖直高度均为4R，两组半圆形轨道的半径均为R．轨道的QQ'端、MM'端的对接狭缝宽度可忽略不计，图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架，能使导轨系统位置固定．将一质量为m的金属杆沿垂直导轨方向放在下层导轨的最左端OO'位置，金属杆在与水平成θ角斜向上的恒力作用下沿导轨运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直，且接触良好．当金属杆通过4R的距离运动到导轨末端PP'位置时其速度大小vp=4

gR

．金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力，以及整个运动过程中所受空气阻力均可忽略不计．
（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为μ，求金属杆所受恒力F的大小；
（2）金属杆运动到PP'位置时撤去恒力F，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道PQ和P'Q'，又在对接狭缝Q和Q'处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道QM和Q'M'的内侧，求金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM'时，它对轨道作用力的大小；
（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为r，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中．金属杆由第二组半圆轨道的最高位置MM'处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行．求金属杆在上层导轨上滑行的最大距离．

Answer 1

分析：（1）直线加速过程，受到拉力、重力、支持力和滑动摩擦力，对直线加速过程运用动能定理列式求解；
（2）导体棒沿着圆弧型光滑轨道上滑过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解出最高点速度，然后根据向心力公式和牛顿第二定律列式求解出导体棒所受压力，最后根据牛顿第三定律求解棒对轨道的压力；
（3）对减速过程运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、动量定理列式后联立求解．

解答：解：（1）导体棒加速过程中，重力和支持力不做功，只有拉力和摩擦力做功，拉力做功为W₁=F?4R?cosθ，摩擦力为F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ），
故摩擦力做功为W₂=-μ（mg-Fsinθ）?4R；
根据动能定理W=△E_k，有
F?4R?cosθ-μ(mg-Fsinθ)?4R=

1

2

m

v

2 p

解得
F=

(2+μ)mg

cosθ+μsinθ

故金属杆所受恒力F的大小为

(2+μ)mg

cosθ+μsinθ

．
（2）设金属杆从PP′位置运动到轨道最高点位置MM′时的速度为v₁，此过程根据机械能守恒定律有

1

2

m

v

2 p

=4mgR+

1

2

m

v

2 1

解得
v1=

8gR

设金属杆MM′位置所受轨道压力为F_M，根据牛顿第二定律，有
FM+mg=m

v 2 1

R

解得
F_M=7mg
由牛顿第三定律可知，金属杆对轨道压力的大小F′_M=7mg
故金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM'时，它对轨道作用力的大小为7mg．
（3）金属杆在上层导轨上滑行时由于安培力作用而最终静止．设运动时间为△t，根据动量定理
BIL?△t=mv₁
即
Blq=mv₁
则
q=

mv1

Bl

根据闭合电路欧姆定律，有

.

I

=

. E

r

根据法拉第电磁感应定律，有

.

E

=

△Φ

△t

=

Blx

△t

而
q=

.

I

?△t=

Blx

r

由此可得
x=

mr 8gR

B2l2

故金属杆在上层导轨上滑行的最大距离为

mr 8gR

B2l2

．

点评：本题关键是明确导体棒运动过程中的能量变化情况，然后多次运用动能定理、机械能守恒定律、动量定理列式求解．