Question

10．一同学在阅读同步卫星的相关资料中发现一个式子：地球同步卫星到地心的距离r可由r³=$\frac{{a}^{x}{b}^{y}c}{4{π}^{2}}$求出，已知a是地球的半经，b是同步卫星绕地心运动一圈的时间，c是地球表面处的加速度．由于印刷原因，造成x、y原有的具体数值不清．请你根据学过的知识帮张华推算出x、y的确切数值．

Answer 1

分析 地球同步卫星公转周期等于地球自转的周期，万有引力等于向心力．在地球表面，物体的重力等于万有引力，由这两个方程列式，通过数学变形分析．

解答 解：对于地球同步卫星，根据万有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r
由r³=$\frac{{a}^{x}{b}^{y}c}{4{π}^{2}}$的公式中包含4π²，所以此题用的公式应是：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
变形得：r³=$\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
在地球表面，由万有引力等于重力，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，即有 GM=gR²（R是地球半径）
联立以上两式得：r³=$\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}$
由题：r³=$\frac{{a}^{x}{b}^{y}c}{4{π}^{2}}$中，a是地球的半经，b是同步卫星绕地心运动一圈的时间，c是地球表面处的加速度．则知，x=2，y=2
答：x、y的确切数值都是2．

点评 解决本题的关键要抓住卫星的两个基本思路：万有引力等于向心力，以及重力等于万有引力，并能通过数学变形解答．