Question

8．已知地球半径为R，质量分布均匀，匀质球壳对其内部物体的引力为零．设想在赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一以地心为圆心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面．A、B两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力．则两物体运动的向心加速度大小、线速度大小、角速度、周期之比正确的为（　　）

• A． $\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=（$\frac{R-h}{R+h}$）²
• B． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{R-h}{R+h}}$
• C． $\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$
• D． $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{（R-h）^{3}}}$

Answer 1

分析 由地球质量等于密度乘以体积，可得地球质量表达式；由万有引力提供向心力，对A、B分别列方程可得两物体速度和加速度之比．

解答 解：设地球密度为ρ，则有：
在赤道上方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}}=\frac{{v}_{A}^{2}}{R+h}={a}_{A}=（R+h）{{ω}_{A}}^{2}=\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}_{A}^{2}}$
在赤道下方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{（R-h）}^{3}}{{（R-h）}^{2}}=\frac{{v}_{B}^{2}}{R-h}={a}_{B}=（R-h）{{ω}_{B}}^{2}=\frac{4{π}^{2}（R-h）}{{T}_{B}^{2}}$
解得：
$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}=\frac{{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}（R-h）}$，故A错误；
$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{R}{{R}^{2}-{h}^{2}}\sqrt{R（R+h）}$，故B错误；
$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$，故C正确；
$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{R}^{3}}}$，故D错误；
故选：C

点评 本题主要掌握万有引力提供向心力的基本应用，要会用数学方法表示球体质量；并正确应用万有引力充当向心力求解各物理量的表达式．