Question

10．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，以1.0m/s的初速度沿曲面冲上高0.8m、顶部水平的高台，若摩托车冲上高台的过程中始终以额定功率1.8kW行驶，经过1.2s到达平台顶部，到达顶部后立即关闭发动机油门，人和车落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．已知圆弧半径为R=1.0m，人和车的总质量为180kg，特技表演的全过程中不计一切阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）人和车到达顶部平台时的速度v；
（2）人和车从平台飞出到达A点时的速度大小和方向；
（3）人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）对摩托车的运动过程进行分析，运用动能定理研究开始到顶部平台过程，可求出人和车到达顶部平台时的速度v．
（2）从平台飞出到A点，这是一段平抛运动，运用平抛运动的规律求解平抛运动的时间，然后由运动的合成与分解的知识求出合速度的大小以及速度的方向与水平方向之间的夹角．
（3）再次运用动能定理研究平台到O点，求出O点速度，运用牛顿第二定律求出人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．

解答 解：（1）由动能定理得：
$Pt-mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v=3m/s                                                   
（2）由平抛规律得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立方程，代入数据得：t=0.4s，
从A点切入光滑竖直圆弧轨道的速度为：
${v}_{A}=\sqrt{{v}^{2}+（gt）^{2}}=5$m/s
设速度的方向与水平方向之间的夹角为θ，则：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{gt}{v}$=$\frac{10×0.4}{3}=\frac{4}{3}$
所以：θ=53°方向是水平向右偏下
（3）A→O过程由动能定理有：
$mgR（1-cos\frac{θ}{2}\;）=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
又有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立以上两式得：F_N=4.3mg=7740N，
由牛顿第三定律知压力为7740N．     
答：（1）人和车到达顶部平台时速度3m/s；
（2）到达A点速度大小是5m/s，方向是水平向右偏下53°；
（3）对轨道压力大小是7740牛．

点评 该题考查了多个知识点的运用．对于不规则的曲线运动求速度，我们应该想到动能定理去求解．对于平抛运动规律和圆周运动最高点、最低点的分析，作为基础知识我们应该掌握．