Question

20．在平面直角坐标系的第一象限内存在一有界匀强磁场，该磁场的磁感应强度大小为B=0.1T，方向垂直于xOy平面向里，在坐标原点O处有一正离子放射源，放射出的正离子的比荷都为$\frac{q}{m}$=1×10⁶C/kg，且速度方向与磁场方向垂直．若各离子间的相互作用和离子的重力都可以忽略不计．
（1）如图甲所示，若第一象限存在直角三角形AOC的有界磁场，∠OAC=30°，AO边的长度l=0.3m，正离子从O点沿x轴正方向以某一速度射入，要使离子恰好能从AC边射出，求离子的速度大小及离子在磁场中运动的时间．
（2）如图乙所示，若第一象限存在一未知位置的有界匀强磁场，正离子放射源放射出不同速度的离子，所有正离子入射磁场的方向均沿x轴正方向，且最大速度v_m=4.0×10⁴m/s，为保证所有离子离开磁场的时候，速度方向都沿y轴正方向，试求磁场的最小面积，并在图乙中画出它的形状．

Answer 1

分析 （1）离子恰好能从AC边射出的临界情况为与AC相切时，作出轨迹由几何知识确定圆心，由牛顿第二定律列方程求速度大小，确定出圆心角由周期公式求运动时间．
（2）分析可知所有离子的轨迹圆的圆心都在y轴正半轴上，所以满足题意的最小磁场区域为一扇形．

解答 解：（1）正离子在磁场内做匀速圆周运动，离子刚好从AC边上的D点射出时，如图甲所示，
离子轨迹圆的圆心为O′，轨道半径为r，由几何知识得：r+2r=l，解得：r=$\frac{l}{3}$=0.1m，
粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=1.0×10⁴m/s；
若正离子恰好从AC边射出，由几何知识可知，圆心角∠DO′O=120°，粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
正离子在磁场中运动的时间：t=$\frac{θ}{360°}$T=2.1×10^-5s；
（2）所有离子进入磁场后均做逆时针方向的匀速圆周运动，且入射方向沿x轴正方向，
离开时沿y轴正方向，速度偏转角为$\frac{π}{2}$，并且所有离子的轨迹圆的圆心都在y轴正半轴上，
所以满足题意的最小磁场区域为图乙所示，
根据牛顿第二定律有：qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{R}_{m}}$，解得：R_m=0.4m，
所以磁场区域最小面积为：S=$\frac{1}{4}$πR_m²-$\frac{1}{2}$R_m²=0.04（π-2）=0.0456m²
答：（1）离子的速度大小为1.0×10⁴m/s，离子在磁场中运动的时间为2.1×10^-5s．
（2）磁场的最小面积为0.0456m²．

点评 求极值的问题可以说是磁场部分难度较大的题目，此类问题关键在于找好临界情况，临界点通常在端点或者相切位置