Question

14．已知地球的质量约为月球质量的81倍，地球半径于约为月球半径的4倍，在地球上发射近地卫星的环绕速度为7.9km/s，求：
（1）月球表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值；
（2）在月球上发射一颗近地卫星的环绕速度多大？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力表示出月球表面重力加速度进行求解；
（2）第一宇宙速度是卫星绕星近表面速度，根据星球对卫星的万有引力提供向心力求解．

解答 解：（1）在月球表面物体重力等于月球对物体的万有引力：$m{g_1}=G\frac{{{M_1}m}}{{{r_1}^2}}$
地球表面物体重力等于地球对物体的万有引力：$m{g_2}=G\frac{{{M_2}m}}{{{r_2}^2}}$
根据题意，有：M₂=81M₁，r₂=4r₁
得月球表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值：$\frac{g_1}{g_2}=\frac{16}{81}$
（2）根据万有引力提供向心力有：$G\frac{{{M_1}m}}{{{r_1}^2}}=m\frac{{{v_1}^2}}{r_1}$
得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{4G{M}_{2}^{\;}}{81{r}_{2}^{\;}}}=\frac{2}{9}{v}_{1}^{\;}$
则：v₁=1.8km/s
答：（1）月球表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值$\frac{16}{81}$；
（2）在月球上发射一颗近地卫星的环绕速度1.8km/s

点评 本题是卫星类型问题，关键是要建立物理模型，运用万有引力定律和向心力知识，要知道近月卫星的运行速率即为月球的第一宇宙速度．