Question

6．如图所示，有一与水平面成θ角的传送带AB，长度为L，以恒定速率v向上传送，现在A端放上质量为m的物体，物体与皮带间的滑动摩擦系数为μ（摩擦力足以使物体上升），则物体到达B端的时间为多少？若要时间最短，则传动带速率至少应为多少？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出匀加速运动的加速度，讨论物体可能一直做匀加速运动，或先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，结合运动学公式求出运动的时间．
当物体一直做匀加速直线运动，运动的时间最短，结合速度位移公式求出传送带的最小速率．

解答 解：物体向上做匀加速运动的加速度a=μgcosθ-gsinθ，
①若物体一直做匀加速直线运动，根据L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{μgcosθ-gsinθ}}$，
②若物体先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，则匀加速运动的时间${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{v}{μgcosθ-gsinθ}$，
匀速运动的时间${t}_{2}=\frac{L-\frac{{v}^{2}}{2a}}{v}=\frac{L}{v}-\frac{v}{2（μgcosθ-gsinθ）}$，
则运动的时间t=t₁+t₂=$\frac{L}{v}+\frac{v}{2（μgcosθ-gsinθ）}$．
当物体一直做匀加速直线运动，时间最短，则传送带的最小速率v=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{2（μgcosθ-gsinθ）L}$．
答：物体到达B端的时间为$\sqrt{\frac{2L}{μgcosθ-gsinθ}}$或$\frac{L}{v}+\frac{v}{2（μgcosθ-gsinθ）}$．传动带速率至少应为$\sqrt{2（μgcosθ-gsinθ）L}$．

点评 解决本题的关键理清物体在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，难度中等．