Question

如图所示，在直角坐标系xoy平面的第Ⅱ象限内有半径为r的圆o₁分别与x轴、y轴相切于C（－r，0）、D（0，r） 两点，圆o₁内存在垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．与y轴负方向平行的匀强电场左边界与y轴重合，右边界交x轴于G点，一带正电的A粒子（重力不计）电荷量为q、质量为m，以某一速率垂直于x轴从C点射入磁场，经磁场偏转恰好从D点进入电场，最后从G点以与x轴正向夹角为45°的方向射出电场．求：

（1）A粒子在磁场区域的偏转半径及OG之间的距离；

（2）该匀强电场的电场强度E；

（3）若另有一个与A的质量和电 荷量均相同、速率也相同的粒子A′，从C点沿与x轴负方向成30°角的方向射入磁场，则粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值为多少？

Answer 1

解：

（1）设粒子A射入磁场时的速率为v₀ ，其在磁场中做圆周运动的圆心必在x轴上，设其圆心为O_A，连接O_AC、O_AD，则O_AC＝O_AD＝r，所以O_A与O点重合，故A粒子在磁场区域的偏转半径也是r.    （2分）

A粒子运动至D点时速度与y轴垂直，粒子A从D至G作类平抛运动，设其加速度为a，在电场中运行的时间为t，由平抛运动的规律可得：

  ① （1分）

    ② （1分）

由运动学知识可得：  ③（1分）

联立①②③解得：       ④（1分）

（2）粒子A的轨迹圆半径为r ，由洛仑兹力和向心力公式可得：

       ⑤（2分）

由牛顿运动定律和电场力公式可得：  ⑥（2分）   

联立①②⑤⑥解得：      ⑦（2分）

（3）设粒子A′在磁场中圆周运动的圆心为O′ ，因为∠O′ CA′ =90°，O′C=r，以 O′为圆心、r为半径做A′的轨迹圆交圆形磁场O₁于H点，则四边形CO′H O₁为菱形，故O′H∥y轴，粒子A′ 从磁场中出来交y轴于I点，HI⊥O′H，所以粒子A′也是垂直于y轴进入电场。（2分）

设粒子A′从J点射出电场，交x轴于K点，因与粒子A在电场中的运动类似，由（1）式可得：

OI－JG=r      ⑧（2分）

                  

又OI=r+rcos30°  ⑨  （1分）

由⑧⑨式解得：JG=rcos30°=r    

根据图中几何知识可得：∠JKG=45°，GK=GJ ⑩

所以粒子A′再次回到x轴上的坐标为（，0） （1分）