Question

如图所示，在倾角θ=37°的斜面上放置一个凹槽，槽与斜面间的动摩擦因数，槽与斜面间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，槽两端侧壁A，B 问的距离d=0.24m．把一小球放在槽内中点处，球和槽的质量相等，现同时由静止释放球和槽，不计球与槽之间的摩擦，斜面足够长，且球与槽的侧壁发生碰撞时碰撞时间极短，系统不损失机械能．取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
（1）释放球和槽后，经多长时间球与槽的侧壁发生第一次碰撞？
（2）第一次碰撞后的瞬间，球和槽的速度各多大？
（3）球与槽的侧壁第一次碰撞后再经多少时间发生第二次碰撞？

Answer 1

解：（1）设球和槽的质量为m，槽与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，有：
f=μ?2mgcosθ=0.6mg
槽所受重力沿斜面的分力：
G₁=mgsinθ=0.6mg
因为G₁=f，所以槽受力平衡，释放后保持静止．
释放后，球做匀加速运动，有：
mgsinθ=ma₁
解得：
经时间t₁球与槽的侧壁B发生第一次碰撞

得：t₁=0.2s
（2）碰撞前球的速度为：v₁=a₁t₁=1.2m/s
球和槽发生碰撞前后，动量守恒
mv₁=mv₁′+mv₂′
碰撞过程中不损失机械能，得

解得第一次碰撞后瞬间球的速度v₁′和槽的速度v₂′分别为：
v₁′=0，v₂′=1.2m/s（方向沿斜面向下）
（3）第一次碰撞后，槽做匀速运动，球做匀加速运动，设经时间t′球的速度等于槽的速度v₂′，此时球到侧壁B的距离最大，设为s：
由v₂′=a₁t′得t′=0.2s
因=0.12m＜d
所以此时球与槽的侧壁A没有发生碰撞，这以后球与侧壁B的距离减小，直到发生第二次碰撞．设球与槽的侧壁B第一次碰撞后再经t₂发生第二次碰撞，该过程中位移相同：
有：
解得：t₂=0.4s．
答：（1）释放球和槽后，经0.2s球与槽的侧壁发生第一次碰撞．
（2）第一次碰撞后的瞬间，球和槽的速度各为0和1.2m/s．
（3）球与槽的侧壁第一次碰撞后再经0.4s发生第二次碰撞．
分析：（1）槽所受的最大静摩擦力等于重力沿斜面的分力，所以小球释放后，槽处于静止，球做匀加速直线运动，根据位移时间公式求出小球与槽壁第一次发生碰撞时所需的时间．
（2）球和槽发生碰撞的前后瞬间，动量守恒，能量守恒，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出槽和小球的速度．
（3）第一次碰撞后，槽做匀速运动，球做匀加速运动，在运动的过程中，开始时槽的速度大于球的速度，球与A壁的距离越来越大，速度相等时，球到侧壁B的距离最大，判断此时是否与A壁相碰，若没相碰，此后的球与A壁的距离越来越小，抓住位移相等，求出追及的时间．
点评：本题综合运用了牛顿第二定律、动量守恒定律和能量守恒定律，综合性较强，关键是理清球与槽的运动情况，选择合适的规律进行求解．