Question

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的.在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图5-8-9所示.现有卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径r=0.100 m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10³ kg/m³，大气压p₀=1.00×10⁵ Pa，求活塞上升H=9.00 m的过程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s²）

图5-8-9

Answer 1

解析：大气压p₀能够支承的水柱高度为h₀，h₀==10 m，从开始提升到活塞升至管内外水面高度差为10 m的过程中，活塞始终与管内液体接触（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论）.设活塞上升距离为h₁，管外液面下降距离为h₂，

h₀=h₁+h₂                                ①

    因液体体积不变，有

h₂=h₁(                 ②

    由①②得

h₁=×10 m=7.5 m                  ③

    题给H=9 m＞h₁，由此可知活塞再上升最后1.5 m高度过程中，活塞与水面之间出现真空，活塞移动距离从零到h₁的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他所做的功，因为活塞缓慢上移始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，

即ΔE=ρ(πr²h₁)g                       ④

    其他力有管内、外的大气压力和拉力F，因为液体不可压缩，所以管内、外大气压做的总功p₀π(R²-r²)h₂-p₀πr²h₁=0，故外力做的功就只是拉力F做的功，由功能关系可知

W₁=ΔE                                 ⑤

W₁=ρ(πr²)g=1.8×10⁴ J      ⑥

    活塞移动距离从h₁到H的过程中，液面不变，F是恒力，F=πr²p₀，做功

W₂=F(H-h₁)=πr²p₀(H-h₁)=4.71×10³⁴ J，故所求拉力F做的总功为

W₁+W₂=1.65×10⁴ J.

答案：1.65×10⁴ J