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    19．如图所示，在XOY坐标系内有垂直于XOY所在平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B．某时刻有两个粒子P、Q分别从坐标原点O及X轴上的Q点同时开始运动．两粒子带同种电荷，带电量均为q，质量均为m，P粒子的初速度方向沿X轴负方向，速度大小为V，运动轨迹如图中虚线所示．Q粒子初速度方向是在XOY平面内所有可能的方向，Q点到O点的距离是P粒子轨道半径的1.5倍，两粒子所受重力不计．
    （1）两粒子带的是正电还是负电？P粒子运动的轨道半径R是多少？
    （2）若两粒子在Y轴上的A点相遇，则Q粒子的速度多大？
    （3）若Q粒子的初速度方向竖直向下，则要使两个粒子的轨迹没有交点，Q粒子的速度大小怎样？

    分析 （1）根据粒子偏转方向应用左手定则可以判断出粒子的电性，应用牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径；
    （2）根据粒子的周期公式求出两粒子做圆周运动的周期关系，根据题意确定粒子在A点相遇的条件，然后由几何知识求出Q的轨道半径，然后求出粒子的速度；
    （3）画出轨迹，假设两粒子相遇在Q点，由几何关系有PQ=2RNsinθ，如图，由数学知识求出两个圆周运动半径关系，得到速度关系，然后求出粒子的速度．

    解答 解：（1）由题意可知，粒子P沿顺时针方向做圆周运动，
    粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力竖直向上，由左手定则，粒子带的是负电；
    粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
    由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$；
    （2）若在A点相遇，则由题意可知：tP=tQ，
    又从图中可见P粒子到达A点的时间满足：tP=kTP+$\frac{1}{2}$TP，
    （TP为P粒子做圆周运动的周期，k=0、1、2…）   
    所以：tQ=kTP+$\frac{1}{2}$TP，
    又由题两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，即：TP=TQ，
    所以：tQ=kTQ+$\frac{1}{2}$TQ，
    所以题图中的AQ为Q粒子在磁场中做圆周运动的直径，即：|AQ|=2RQ=2$\frac{m{v}_{Q}}{qB}$，
    又|AQ|=$\sqrt{（2{R}_{P}）^{2}+（1.5{R}_{P}）^{2}}$=2.5RP=2.5$\frac{mv}{qB}$，则：vQ=1.25v；
    （3）由题意可知，要让两个粒子的轨迹不相交，粒子Q的速度可以取小一点，也可取大一点，
    先讨论取小一点的情况，如图所示，当粒子Q的轨迹与P粒子的轨迹相切时，vQ取极值，
    由几何知识得：（R+r）sinα+r=1.5R，（R+r）cosα=R，即：r=0.45R，所以：vQ=0.45v，
    再讨论取大一点的情况，如图所示，当粒子Q的轨迹与P粒子的轨迹相切时，vQ也取极值，
    由几何知识得：R2+（r-1.5R）2=（r-R）2，解得：r=2.25R，vQ=2.25v，
    综上，要使两粒子轨迹不相交，Q粒子的速度为：0.45v或2.25v；
    答：（1）两粒子带负电，P粒子运动的轨道半径R是$\frac{mv}{qB}$；
    （2）若两粒子在Y轴上的A点相遇，则Q粒子的速度为1.25v；
    （3）若Q粒子的初速度方向竖直向下，则要使两个粒子的轨迹没有交点，Q粒子的速度大小为0.45v或2.25v．

    点评 本题是带电粒子在磁场中圆周运动的问题，关键是运用数学知识分析两个粒子之间运动周期和轨迹半径的关系，考查运用数学知识处理物理问题的能力．

    练习册系列答案
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