Question

12．如图所示，在x轴下方存在着正交的匀强电场与匀强磁场，电场方向沿x轴正方向，电场强度的大小E₁=20N/C，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小B₁=5T，一个质量为3g，电荷量q=2×10^-3C的带正电小球自y轴上的M点沿直线匀速运动到x轴上的N点，且已知OM=4m，在x轴上方存在着正交的匀强电场E₂与匀强磁场B₂（图中均未画出），小球在x轴上方作匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y轴相切，如图所示，试求：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．
（1）小球运动的速率v；
（2）匀强电场E₂的大小和方向；
（3）匀强磁场B₂的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根据小球的运动可知小球受力平衡，合外力为零；对小球受力分析，利用力的合成与分解和共点力的平衡可求出速度的大小．
（2）由图可知，小球在x轴上方做匀速圆周运动，可判断受到的重力和电场力平衡，由二力平衡和可求出电场E₂的大小和方向．
（3）小球在x轴上方做匀速圆周运动，由几何关系可求出轨道半径R为$\frac{5}{3}m$，向心力提供洛伦兹力，结合牛顿第二定律即可求出磁场B₂的大小，由左手定则可判断方向．

解答 解：
（1）小球从M向N做匀速直线运动，可知小球所受合外力为零，对小球受力分析（如图一所示），
受到重力、电场力和洛伦兹力作用，由小球的受力可知小球带正电，有：
$tanθ=\frac{q{E}_{1}}{mg}=\frac{2×1{0}^{-3}×20}{3×1{0}^{-3}×10}=\frac{4}{3}$
所以θ=53°
洛伦兹力的大小与电场力和重力的合力大小相等，有：
$qv{B}_{1}=\frac{mg}{cos53°}$
得：v=5m/s
（2）小球x轴上方做匀速圆周运动（如图二所示），可知电场力与重力平衡，所以有：
${E}_{2}=\frac{mg}{q}$
因小球带正电，所以E₂方向沿y轴正方向．
（3）设小球在x轴上方做匀速圆周运动的半径为R，
由几何关系（如图二）可得：Rsin53°+R=ON
则：ON=OMtan37°
解得$R=\frac{5}{3}m$
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律有：
$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得：${B}_{2}=\frac{mv}{qR}$=4.5T．
因小球带正电，由左手定则可知磁感应强度B₂的方向垂直纸面向里．
答：（1）小球运动的速率为5m/s
    （2）电场E₂的大小为15N/C，方向为沿y轴的正方向．
    （3）磁场B₂的大小为4.5T，方向为垂直纸面向里．

点评 该题考察了带电粒子在复合场中的运动．带电粒子在复合场中的运动情况有很多，常见的运动情况有如下几种：
1．带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，粒子将处于静止状态或做匀速直线运动运动．
2．当带电粒子所受的合外力时刻指向一个圆心充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动（如：电场力和重力相平衡，洛伦兹力提供向心力）．
3．当带电粒子所受的合外力大小、方向均不断发生变化时，则粒子将非匀变速做曲线运动．
解决此类问题的关键是正确的对粒子进行受力分析和运动的分析，并结合草图进行解答．