Question

9．半圆形光滑轨道固定在水平地面上，其轨道平面与地面垂直，物体m₁，m₂同时由轨道左、右两端的最高点释放，两者碰撞后黏在一起运动，最高能上升到轨道M点，已知OM与竖直方向夹角为60°，则两物体的质量之比m₁：m₂为$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{2}+1）$．

Answer 1

分析 先根据动能定理解出两小球到达最低点的速度，再用动量守恒解出碰撞后的共同瞬时速度，最后两小球上升过程可列出动能定理表达式解题．

解答 解：两球到达最低的过程由动能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$
所以两球到达最低点的速度均为：$\sqrt{2gR}$
设向左为正方向，则m₁的速度v₁=-$\sqrt{2gR}$，则m₂的速度v₂=$\sqrt{2gR}$，
由于碰撞瞬间动量守恒得：m₂v₂+m₁v₁=（m₁+m₂）v_共
解得：v_共=$\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\sqrt{2gR}$     ①
二者碰后粘在一起向左运动，最高能上升到轨道M点，
对此过程由动能定理得：-（m₁+m₂）gR（1-cos60°）=0-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_共²          ②
由①②解得：$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}{（{m}_{2}-{m}_{1}）^{2}}$=2
整理地：m₁：m₂=$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{2}+1）$
故答案为：$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{2}+1）$

点评 注意动量守恒的条件的应用：物体之间发生相互作用的过程中，如果没有外力作用，那么相互作用的物体的总动量保持不变，在解题时注意选择合适的正方向．