Question

14．（普通班做）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第I象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第IV象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，一带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经偏转电场后到达x轴上的N点，然后射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，已知M点的坐标是（0，h），N点的坐标是（2h，0），不计粒子重力，求：
（1）粒子到达N点时的速度v的大小以及v与初速度v₀的夹角θ；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）粒子从M点运动到P点的总时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出速度．
（2）粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，先画出轨迹图，找出半径；利用洛伦兹力提供向心力的公式，可求出在磁场中运动的半径．
（3）粒子的运动分为两部分，一是在第一象限内做类平抛运动，二是在第四象限内做匀速圆周运动，分段求出时间，相加可得总时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
2h=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$at₁²，加速度：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$，v_y=at，
解得：v_y=v₀，t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，则θ=45°；
（2）粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，r=2$\sqrt{2}$h；
（3）粒子在磁场中转过的圆心角α=135°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{4πh}{{v}_{0}}$，
粒子在磁场中的运动时间：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{3πh}{2{v}_{\;}}$，
则粒子的运动时间：t=t₁+t₂=$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πh}{2{v}_{0}}$；
答：（1）粒子到达N点时的速度v的大小为$\sqrt{2}$v₀，v与初速度v₀的夹角θ为45°；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r为2$\sqrt{2}$h；
（3）粒子从M点运动到P点的总时间t为$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πh}{2{v}_{0}}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子垂直射入电场，在电场中偏转做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式．