Question

水平地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），P′AOC各点均在同一水平直线上，如图所示．一辆小车以速率 v在跑道上顺时针运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，小沙袋、小车均可视为质点．则
（1）若从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中，小沙袋被抛出时的初速度应满足什么条件？
（2）若小车经过跑道上A点时（∠AOB=90°），现从P点瞄准B点以某一水平初速度抛出小沙袋，使其落入小车中，则小沙袋被抛出时的初速度V₁应满足什么条件？小车的速率 v应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由高度h，求出时间．要使沙袋落入小车中，沙袋的水平位移大小应满足：L-R≤x≤L+R，而x=v₀t，即可求出小沙袋被抛出时的初速度应满足的条件．
（2）要使在小车经过B点时，小沙袋落入小车中，小沙袋的水平位移大小应为

L2+R2

，而平抛运动的时间不变，即可求出小沙袋被抛出时的初速度．在小沙袋做平抛运动的时间内，小车通过的路程可能为s=2π(n+

1

4

)R，由v=

s

t

求解小车的速率v．

解答：解：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t、沙袋被抛出时的初速度为v₁，则
  h=

1

2

gt2
得 t=

2h g

L-R≤v₀t≤L+R
解得  

g(L-R)2 2h

≤v0≤

g(L+R)2 2h

．
（2）当沙袋落在B点时
h=

1

2

gt2
即

L2+R2

=v1t
小沙袋被抛出时的初速度为
  v1=

L2+R2

2h g

小车的速率为
  v=

2π(n+ 1 4 )R

t

（n=0、1、2…）
将t=

2h g

代入得
   v=2π(

1

4

+n)R

g 2h

（n=0、1、2…）
答：（1）小沙袋被抛出时的初速度应满足的条件是

g(L-R)2 2h

≤v0≤

g(L+R)2 2h

．
（2）小沙袋被抛出时的初速度为v1=

L2+R2

2h g

，小车的速率v应满足的条件是v=2π(

1

4

+n)R

g 2h

（n=0、1、2…）．

点评：本题要分别研究沙袋和小车的运动，关键是抓住两个运动的联系和小车运动的周期性．