Question

（2008?盐城二模）如图所示，水平虚线L₁、L₂之间是匀强磁场，磁场方向水平向里，磁场高度为  h，竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5：1，高为2h，现使 线框AB边在磁场边界L₁的上方h高处由静止自由下落，当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动．求：
（1）DC边刚进入磁场时，线框的加速度
（2）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比．

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒求出AB刚进入磁场时的速度．根据AB刚进入磁场时加速度恰好为0，由平衡条件列出重力与安培力的关系方程．在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，此时线框有效切割长度为2l，由平衡条件得到重力与安培力的关系式，将两个重力与安培力的关系式进行对比，求出DC边刚进入磁场前线框匀速运动时的速度．DC边刚进入磁场瞬间，线框有效切割的长度为3l，推导出安培力表达式，由牛顿第二定律求出加速度．
（2）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，根据能量守恒求出机械能的损失，再求解线框的机械能损失和重力做功之比．

解答：解：（1）设AB刚进入磁场时速度为v₀，线框质量为m、电阻为R，AB=l，CD=5l．
根据机械能守恒得
   mgh=

1

2

m

v

2 0

当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，则有
  

B2l2v0

R

=mg
设DC边刚进入磁场前线框匀速运动时速度为v₁，
  E_感=B（2l）v₁
线框匀速运动时有

B2(2l)2v1

R

=mg
得出v1=

1

4

v0
DC边刚进入磁场瞬间，E′=B（3l）v₁
F₁=

B2(3l)2v1

R

=

B2(3l)2v0

4R

=

9

4

mg
根据牛顿第二定律得，F₁-mg=ma
解得a=

5

4

g
（2）从线框开始下落到CD边进入磁场前瞬间，根据能守恒定律得
   mg（3h）-Q=

1

2

m

v

2 1

机械能损失△E=Q=

47

16

mgh
所以线框机械能损失和重力做功之比△E：W_G=47：48
答：
（1）DC边刚进入磁场时，线框的加速度为a=

5

4

g．
（2）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比为47：48．

点评：本题要研究物体多个状态，再找它们的关系，关键要写出线框有效的切割长度，即与速度方向垂直的导体等效长度．