Question

19．如图甲是一种升降电梯的示意图，A为载人箱，B为平衡重物，它们的质量均为M，上下均由跨过滑轮的钢索系住，在电动机的牵引下使电梯上下运动，在电动机部位装有电磁刹车器，其简化原理如图乙所示．一个半径为L的圆形金属导轨固定在竖直平面内，一根长为L的金属棒OC的C端与导轨接触良好，O端固定在导轨圆心处的转轴上．转轴的左端有一个半径为r=$\frac{L}{3}$的圆盘，圆盘上的钢索分别接平衡重物和左下滑轮，钢索与圆盘不打滑，转轴和金属棒能随圆盘一起转动．在金属导轨区域内存在垂直于导轨平面向右的磁感应强度为B的匀强磁场，a点与导轨相连，b点通过电刷与金属棒O端相连．a、b两点间连接一阻值为R的电阻．电梯中人的总质量为m，电梯在中间运行阶段的速度始终为v．（不计空气阻力和部件间的摩擦阻力，电磁刹车器的质量可忽略，金属棒、导轨、导线及电刷的电阻均不计，重力加速度g=10m/s²）

（1）若让电梯在上行即将到顶层前关闭电动机并断开电磁刹车器的开关，依靠惯性上升高度h后停止，求h的大小．
（2）若让电梯在下行阶段距离底层高度为h₁时，关闭电动机的同时闭合电磁刹车器的开关，仅靠电磁刹车器使电梯到底层时停止，则判断该情况下流过电阻R的电流方向并计算闭合开关瞬间电流的大小及该过程中在电阻R上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）在上行阶段载人箱与平衡重物的重力势能的变化始终相互抵消，由动能定理列式即可求解；
（2）电梯运行带动金属棒切割磁感线的方向，由右手定则判断流经R的电流方向，根据圆周运动的规律求出导体棒C端的线速度，根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，再求出感应电流，由动能定理即可求出电阻R上产生的焦耳热

解答 解：（1）分析题意可知，在上行阶段载人箱与平衡重物的重力势能的变化始终相互抵消，由动能定理可得：
mgh=$\frac{1}{2}$（2M+m）v²
解得：h=$\frac{（2M+m）{v}^{2}}{2mg}$．
（2）下行阶段，根据电梯运行带动金属棒切割磁感线的方向，由右手定则可知，电流将从b点经电阻R流向a点，由电磁刹车器的构造及圆周运动规律可知，导体棒C端线速度v_C与圆盘边缘的线速度v满足$\frac{{v}_{C}}{L}=\frac{v}{r}$
故可得：v_C=3v
由法拉第电磁感应定律得，闭合开关瞬间金属棒产生的感应电动势为：E=$\frac{1}{2}$BLv_C
故有：I=$\frac{E}{R}=\frac{3BLv}{2R}$
对于下行h₁停止在底层的过程，运用动能定理得：
mgh₁+W_安=0-$\frac{1}{2}$（2M+m）v²
解得：W_安=-mgh₁-$\frac{1}{2}$（2M+m）v²
得：Q=-W_安=mgh₁+$\frac{1}{2}$（2M+m）v²．
答：（1）若让电梯在上行即将到顶层前关闭电动机并断开电磁刹车器的开关，依靠惯性上升高度h后停止，h的大小为$\frac{（2M+m）{v}_{\;}^{2}}{2mg}$．
（2）若让电梯在下行阶段距离底层高度为h₁时，关闭电动机的同时闭合电磁刹车器的开关，仅靠电磁刹车器使电梯到底层时停止，则该情况下流过电阻R的电流方向电流将从b点经电阻R流向a点，闭合开关瞬间电流的大小及该过程中在电阻R上产生的热量Q为$mg{h}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}（2M+m）{v}_{\;}^{2}$

点评 本题考查电磁感应定律的应用，右手定则等知识和分析综合建模能力，根据右手定则可以判断经过电阻R的电流方向，由圆周运动的规律得出导体棒C端的速度，意在考查学生分析综合能力．