Question

如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R?

.

AB

．甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放（不计空气阻力）．问：
（1）两球第1次到达C点的时间之比；
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

Answer 1

（1）甲球做自由落体运动R=

1

2

g

t

21

所以：t1=

2R g

乙球沿圆弧做简谐运动（由于B→C?R，可认为摆角θ＜5°）．此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为：
t₂=

1

4

T=

1

4

×2π

R g

，所以t₁：t₂=

2 2

π

（2）甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间为t_甲=

2h g

由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为
t乙=

T

4

+n

T

2

=

2n+1

2

?π

R g

，n=0，1，2，…

由于甲、乙在C点相遇，故t_甲=t_乙
解得h=

(2n+1)2

8

π2R(n=0，1，2，…)
答：（1）两球第1次到达C点的时间之比是

2 2

π

；
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是

(2n+1)2

8

π2R(n=0，1，2，…)．