Question

6．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧（不拴接），当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量．

Answer 1

分析 第一次压缩量为l时，小球恰好通过E点，在E点，由重力充当向心力，可求得E点的速度，由机械能守恒定律表示出压缩时弹簧的弹性势能．
第二次压缩时，小球离开E点做平抛运动，由分运动的规律求出小球通过E点的速度，再由机械能守恒定律出压缩时弹簧的弹性势能．根据弹性势能与压缩量的二次方成正比，求解第二次压缩时弹簧的压缩量．

解答 解：设第一次压缩量为l时，弹簧的弹性势能为E_p．
释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v₁
由机械能守恒定律得  E_p=$\frac{1}{2}$mv₁²
设小球在最高点E时的速度为v₂，由临界条件可知
    mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，v₂=$\sqrt{gR}$
由机械能守恒定律可得   $\frac{1}{2}$mv₁²=mg×2R+$\frac{1}{2}$mv₂²
以上几式联立解得  E_p=$\frac{5}{2}$mgR
设第二次压缩时弹簧的压缩量为x，此时弹簧的弹性势能为E_p′
小球通过最高点E时的速度为v₃，由机械能守恒定律可得：E_p′=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₃²
小球从E点开始做平抛运动，由平抛运动规律得
   4R=v₃t，2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得  v₃=2$\sqrt{gR}$，解得  E_p′=4mgR
由已知条件可得 $\frac{Ep′}{Ep}$=$\frac{{x}^{2}}{{l}^{2}}$
代入数据解得 x=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$l．
答：第二次压缩时弹簧的压缩量是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$l．

点评 本题是机械能守恒定律、向心力与平抛运动的综合应用．利用机械能守恒定律的优点在于不用分析物体运动过程的细节，只关心初末状态即可，但要分析能量是如何转化的．