Question

11．如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为r的光滑圆形轨道相连接，质量为m的小球，在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，求：
（1）小球释放点离圆形轨道最低点多高？
（2）通过轨道点最低点时球对轨道的压力？

Answer 1

分析 （1）要使小球能够通过圆轨道的最高点，那么小球在最高点时，应该恰好由物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球通过最高点的速度，再由机械能守恒可以求得释放点离地面的高度；
（2）由动能定理求出小球通过轨道最低点时的速度，在最低点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力，从而得到小球对轨道的压力．

解答 解：（1）要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，需有 m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg…①
从A到C的过程，由机械能守恒定律得：mgH-mg（2r）=$\frac{1}{2}$mv² …②
由①②式得 H=2.5r…③
（2）令最低点速度为v₁，则由动能定理得：$\frac{1}{2}$mv₁²=mgH…④
在最低点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$…⑤
由③④⑤式得：F=6mg．
由牛顿第三定律得球对轨道的压力为：F′=F=6mg，方向竖直向下．
答：（1）小球释放点离圆形轨道最低点为2.5r．
（2）通过轨道点最低点时球对轨道的压力是6mg，方向竖直向下．

点评 本题是圆周运动中绳的模型，关键应明确在圆轨道的最高点的临界条件是：重力等于向心力，在最低点由合力充当向心力．