Question

13．如图甲所示，间距为L、足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ放置在绝缘水平桌面上，N、Q间接有电阻R₀，导体棒ab垂直放置在导轨上，接触良好．导轨间直径为L的圆形区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B的大小随时间t变化规律如图乙所示，导体棒和导轨的电阻不计，导体棒ab静止．求：

（1）在0～t₀时间内，回路中的感应电动势E；
（2）在0～t₀时间内，电阻R₀产生的热量Q；
（3）若从t=t₀时刻开始，导体棒以速度v向右匀速运动，则导体棒通过圆形区域过程中，导体棒所受安培力F的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合圆的面积公式即可求出；
（2）根据欧姆定律求出电路中的电流值，由Q=I²Rt即可求出；
（3）当导体棒的有效切割长度为L时，安培力最大，由法拉第电磁感应强度结合欧姆定律即可求出水平拉力F的最大值．

解答 解：（1）在0～t₀时间内，回路中的磁感应强度的变化率为    $\frac{△B}{△t}=\frac{B_0}{t_0}$
圆形区域的面积                $S=π{（\frac{L}{2}）^2}=\frac{{π{L^2}}}{4}$
回路中的感应电动势            $E=\frac{△B}{△t}S=\frac{{π{B_0}{L^2}}}{{4{t_0}}}$
（2）在0～t₀时间内，
电阻R上的电流                   $I=\frac{E}{R}=\frac{{π{B_0}{L^2}}}{{4{t_0}R}}$
电阻R产生的热量                 $Q={I^2}R{t_0}=\frac{{{π^2}B_0^2{L^4}}}{{16{t_0}R}}$
（3）导体棒进入圆形磁场区域，保持匀速直线运动，说明在水平拉力和安培力二力平衡，当有效切割长度为L时，安培力最大，水平拉力F的最大值
电动势                            E′=B₀Lv
回路中的电流                       $I′=\frac{E′}{R}$
导体棒受到的安培力                 F=B₀I′L
水平拉力F的最大值                 ${F_m}=\frac{{B_0^2{L^2}v}}{R}$
答：（1）在0～t₀时间内，回路中的感应电动势是$\frac{π{B}_{0}{L}^{2}}{4{t}_{0}}$；
（2）在0～t₀时间内，电阻R₀产生的热量是$\frac{{π}^{2}{B}_{0}^{2}{L}^{4}}{16{t}_{0}R}$；
（3）若从t=t₀时刻开始，导体棒以速度v向右匀速运动，则导体棒通过圆形区域过程中，导体棒所受安培力F的最大值$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R}$．

点评 此题考查了导体棒在磁场中运动问题，关键推导安培力与速度的关系，正确分析能量如何转化，运用平衡条件和能量守恒解决这类问题．