Question

如图，ABCD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是倾斜的，倾角为37°，BC段是水平的，CD段为半径R=0.15m的半圆，三段轨道均光滑连接，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³ V/m．一带正电的导体小球甲，在A点从静止开始沿轨道运动，与静止在C点不带电的相同导体小球乙发生弹性碰撞，碰撞后速度交换（即碰后甲的速度变成碰前瞬间乙的速度，乙的速度变成碰前瞬间甲的速度）．已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10^-2㎏，小球甲所带电荷量为q_甲=2.0×10^-5C，g取10m/s²，假设甲、乙两球可视为质点，并不考虑它们之间的静电力，且整个运动过程与轨道间无电荷转移．
（1）若甲、乙两球碰撞后，小球乙恰能通过轨道的最高点D，试求小球乙在刚过C点时对轨道的压力；
（2）若水平轨道足够长，在甲、乙两球碰撞后，小球乙能通过轨道的最高点D，则小球甲应至少从距BC水平面多高的地方滑下？
（3）若倾斜轨道AB可在水平轨道上移动，在满足（1）问和能垂直打在倾斜轨道的条件下，试问小球乙在离开D点后经多长时间打在倾斜轨道AB上？

Answer 1

分析：（1）小球乙恰能通过轨道的最高点D时，由重力和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式求出小球乙通过D点时的速率，对于乙球从C到D过程，根据动能定理求出乙球在C点时的速率，由牛顿第二定律和第三定律结合求解小球乙在刚过C点时对轨道的压力；
（2）甲球从A到C的过程，根据动能定理求解甲球刚滑下时的高度；
（3）小球乙离开D点做类平抛运动，垂直打在倾斜轨道时，速度与倾斜轨道垂直，运用运动的分解法求解时间．

解答：解：因甲乙小球相同，则碰撞后两个小球的电量都为q=

1

2

q_甲=1.0×10^-5C 
其电场力F=Eq=0.05N，G=mg=0.1N
（1）设小球乙恰能通过轨道的最高点D时的速率为v_D，在D点：由牛顿第二定律得：
Eq+mg=m

v 2 D

R

解得：v_D=1.5m/s               
小球乙从C到D的过程，由动能定理：
   -(mg+Eq)×2R=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

在C点：由牛顿第二定律得：NC-mg-Eq=m

v 2 C

R

解得：N_C=6（Eq+mg）=0.9N                             
由牛顿第三定律得：小球乙在刚过C点时对轨道的压力大小为N=0.9N，方向竖直向下．
（2）设小球甲从高度为h时滑下与小球乙碰撞后，小球乙恰能通过轨道的最高点D，
由动能定理：(mg+Eq甲)×h=

1

2

m

v

2 C

解得：h=

3

160

m                                      
（3）小球乙离开D点做类平抛运动，加速度a=

Eq+mg

m

=15m/s²
当小球乙垂直打在斜面上时，其竖直速度v_y=at=v_ctan53°=0.2m/s
 故：时间t=

1

75

s                                         
答：
（1）小球乙在刚过C点时对轨道的压力是0.9N，方向竖直向下．
（2）小球甲应至少从距BC水平面

3

160

m高处的地方滑下．
（3）小球乙在离开D点后经

1

75

s时间打在倾斜轨道AB上．

点评：本题是动能定理与向心力、类平抛运动的综合，要抓住小球乙刚好到达最高点D的临界条件，求出临界速度，分段运用动能定理．