Question

某种小发电机的内部结构平面图如图1所示，永久磁体的内侧为半圆柱面形状，它与共轴的圆柱形铁芯间的缝隙中存在辐向分布、大小近似均匀的磁场，磁感应强度B=0.5T．磁极间的缺口很小，可忽略．如图2所示，单匝矩形导线框abcd绕在铁芯上构成转子，ab=cd=0.4m，bc=0.2m．铁芯的轴线OO′在线框所在平面内，线框可随铁芯绕轴线转动．将线框的两个端点M、N接入图中装置A，在线框转动的过程中，装置A能使端点M始终与P相连，而端点N始终与Q相连．现使转子以ω=200π rad/s角速度匀速转动．在图1中看，转动方向是顺时针的，设线框经过图1位置时t=0．（取π=3）
（1）求t=

1

400

s时刻线框产生的感应电动势；
（2）在图3给出的坐标平面内，画出P、Q两点电势差U_PQ随时间变化的关系图线（要求标出横、纵坐标标度，至少画出一个周期）；
（3）如图4所示为竖直放置的两块平行金属板X、Y，两板间距d=0.17m．将电压U_PQ加在两板上，P与X相连，Q与Y相连．将一个质量m=2.4×10^-12kg，电量q=+1.7×10^-10C的带电粒子，在t₀=6.00×10^-3s时刻，从紧临X板处无初速释放．求粒子从X板运动到Y板经历的时间．（不计粒子重力）

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律E=BSω直接求出感应电动势的大小；
（2）通过右手定则确定PQ两点间的电势高低，从而判断开始时PQ间电势的高低，由图示电场知线框转过π弧度PQ间电势将反向，根据已知的角速度可以求出电势变化的时间．
（3）抓住开始时的时间，在一个运动周期内：根据图象知，在t₀=6.00×10^-3s时刻电动势为正的，粒子将向Y板做初速度为0的匀加速直线运动，运动时间为T-t₀然后再向Y板做匀减速直线运动，经过0.004s时速度减为0．然后再向X板匀加速0.001s，在紧接着的0.001s内粒子将向X板匀减速运动至速度为0，然后进入第二个运动周期．根据分段运动特点求出每个周期前进的距离，根据已知位移从而求出时间即可．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律知：感应电动势   E=BSω=B×ab×bc×ω    
代入数据得     E=24V             
（2）由题意知线框转过π弧度电势将反向，根据右手定则知，开始时P点电势低即U_PQ=-24V，电势反向时间为
t=

π

ω

=0.005s，所以图象为：


（3）粒子开始运动后一个周期内的运动示意图如图所示
粒子在电导中产生的加速度大小为：a=

Uq

dm

向Y板加速的距离  s1=

1

2

a×(T-t0)2=0.08m     
向X板加速的距离  s2=

1

2

a×(t0-

1

2

T)2=0.005m   
一个周期内前进的距离   S=2S₁-2S₂=0.15m  　　 
由于S＜d，d-S=0.02m＜S₁，所以粒子将在下一周期向Y板加速过程中到达Y板
设这次加速时间为t    d-s=

1

2

at2t=2.0×10^-3s   
求出总时间     　　　t_总=T+t=1.2×10^-2s    　 
答：（1）感应电动势为24V
（2）图象见上图；
（3）粒子经历时间为1.2×10^-2s

点评：掌握法拉第电磁感应定律及通过右手定则判断感应电势的高低是解决本题前两问的基础，在粒子往复运动中根据粒子的受力特点和运动的周期性展开讨论即可．