Question

9．假设某天你在一个半径为R的星球上，手拿一只小球在星球表面h高度处无初速度释放，测得小球经时间t落地．已知在距离该星球表面的高度等于该星球半径处，有一卫星绕该星球做匀速圆周运动，求：
（1）该星球的第一宇宙速度v；
（2）该卫星运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的位移时间公式得出星球表面的重力加速度，结合重力提供向心力求出第一宇宙速度．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星的周期．

解答 解：（1）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
根据$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$．
（2）根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
轨道半径r=2R，
根据万有引力等于重力有：GM=gR²，
联立解得T=$4πt\sqrt{\frac{R}{h}}$．
答：（1）该星球的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$；
（2）该卫星运动的周期T为$4πt\sqrt{\frac{R}{h}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：万有引力提供向心力，万有引力等于重力，本题通过自由落体运动得出星球表面的重力加速度是关键．