Question

14．质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ．已知以后的运动过程中B、C始终没有相撞．
（1）为使B、C不相撞，A木板至少多长．
（2）试求从B、C滑上长木板A后，到不再有相对运动的这段时间内A的位移．
（3）B、C在A上相对滑动的距离之比d_B：d_C．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律求出A、B、C共同的速度，结合能量守恒求出木板至少多长．
（2）B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止，然后A、B保持相对静止，C相对A做匀减速，AB做匀加速，结合运动学公式和牛顿第二定律求出从B、C滑上长木板A后，到不再有相对运动的这段时间内A的位移．
（3）分别求出A、B相对静止前后相对静止后B、C相对A滑动的距离，从而得出B、C在A上相对滑动的距离之比．

解答 解：（1）A、B、C组成的系统，动量守恒，设当三者速度相等时速度为v′，规定向左为正方向，根据动量守恒定律得，
2mv-mv=3mv′，
解得$v′=\frac{v}{3}$
全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热Q=fd=μmgd，
由能量守恒定律列式：$μmgd=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}m（2v）^{2}-\frac{1}{2}•3mv{′}^{2}$，
解得d=$\frac{7{v}^{2}}{3μg}$．这就是A木板应该具有的最小长度．
（2）B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止．B刚好相对于A静止时，C速度为v，A开向左做匀加速运动，这段加速经历时间为△t₂=$\frac{v-\frac{v}{3}}{a}=\frac{\frac{2}{3}v}{μg}=\frac{2v}{3μg}$，
A的加速度${a}_{A}=\frac{μmg}{2m}=\frac{μg}{2}$，
物体A的位移x=$\frac{1}{2}{a}_{A}△{{t}_{2}}^{2}=\frac{{v}^{2}}{9μg}$．
（3）第一阶段B对A的位移就是对地的位移：s_B=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$，这段时间为△t₁=$\frac{v}{μg}$．
B在这段时间内的平均速度$\overline{{v}_{B}}=\frac{v}{2}$，C在这段时间内的平均速度$\overline{{v}_{C}}=\frac{2v+v}{2}=\frac{3v}{2}$，
C的平均速度是其3倍，因此C对A的位移是其3倍，即s_C=$\frac{3{v}^{2}}{2μg}$；
第二阶段C平均速度是$\overline{{v}_{C}′}=\frac{v+\frac{v}{3}}{2}=\frac{2v}{3}$，时间为△t₂=$\frac{2v}{3μg}$，则C对地位移是${s}_{C}′=\overline{{v}_{C}′}△{t}_{2}=\frac{4{v}^{2}}{9μg}$，
A对地位移是${s}_{A}=\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{A}}=\frac{{v}^{2}}{9μg}$，
因此C相对于A位移是s_C^″=${s}_{C}′-{s}_{A}=\frac{{v}^{2}}{3μg}$，
故B、C与A间的相对位移大小依次是d_B=s_B=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$，d_C=s_C+s_C″=$\frac{11{v}^{2}}{6μg}$，因此d_B：d_C=3：11．
答：（1）为使B、C不相撞，A木板至少长$\frac{7{v}^{2}}{3μg}$．
（2）从B、C滑上长木板A后，到不再有相对运动的这段时间内A的位移为$\frac{{v}^{2}}{9μg}$．
（3）B、C在A上相对滑动的距离之比为3：11．

点评 本题考查了动量守恒和能量守恒、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，对于第一问，通过动量和能量的观点解决比较简捷，对于第二问和第三问，必须要理清A、B、C在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．