Question

2．如图所示，质量为m₃=4kg的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半径为R=2m的四分之一圆弧，圆心0在B点正上方，其他部分水平，在滑道右侧固定一轻弹簧，滑道除 CD部分粗糙外其他部分均光滑．质量为m₂=3kg的物体2（ 可视为质点）放在滑道上的B点，现让 质量为m₁=1kg的物体（可视为质点）自A点上方R处由静止释放．两物体在滑道上的C点相碰后粘在一起（g=10m/s²），求：
（1）物体1第一次到达B点时的速度大小；
（2）B点和C点之间的距离；
（3）若CD=0.3m，两物体与滑道CD部分间的动摩擦因数都为0.2，两物体最后一次压缩弹簧时，求弹簧的最大弹性势能的大小．

Answer 1

分析 （1）物体1从释放到B点的过程中，物体2由于不受摩擦力，相对于地面静止不动．物体1和滑道组成的系统水平不受外力，水平动量守恒，根据水平动量守恒和系统的机械能守恒分别列式，求出物体1第一次到达B点时的速度大小；
（2）B点和C点之间的距离即为滑道在两个物体碰撞前向左滑动的距离．用位移与时间的比值表示平均速度，根据物体1和滑道的水平动量守恒列式，求出滑道向左运动的距离，即可得解．
（3）物体1从释放到与物体2相碰前的过程中，系统中只有重力做功，系统的机械能守恒，根据机械能守恒和动量守恒列式，可求出物体1、2碰撞前两个物体的速度；物体1、2碰撞过程，根据动量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物体1、2向右运动，滑道向左运动，弹簧第一次压缩最短时，根据系统的动量守恒得知，物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大．根据能量守恒定律求解在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能．

解答 解：（1）物体1由静止到第一次到达B点的过程，物体2始终静止，以物体1和滑道为研究对象，水平方向的动量守恒，取水平向右为正方向，则有：
   m₁v₁-m₃v₃=0 
根据系统的机械能守恒得：m₁g•2R=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²
联立解得  v₁=8m/s，v₃=2m/s
（2）两物体在滑道上的C点相碰后粘在一起，故B点和C点之间的距离即为滑道在两个物体碰撞前向左滑动的距离．物体1从释放到与相碰撞的过程中，物体1和滑道组成的系统水平方向动量守恒，设物体1的水平位移大小为s₁，滑道水平位移大小s₃，有：
  0=m₁$\frac{{s}_{1}}{t}$-m₃$\frac{{s}_{3}}{t}$=0
又s₁+s₃=R
可以求得 s₃=0.4m
所以B点和C点之间的距离是0.4m．
（3）设物体1和物体2相碰后的共同速度设为v₂．取向右为正方向，由动量守恒定律有 m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
由于物体1、物体2和滑道整体在水平方向动量守恒，弹簧第一次压缩最短时由动量守恒定律可知物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大，设为E_Pm．
根据能量转化和守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²-μ（m₁+m₂）g$\overline{CD}$=E_Pm
联立以上方程，代入数据可以求得，E_Pm=$\frac{253}{15}$J
答：
（1）物体1第一次到达B点时的速度大小是2m/s；
（2）B点和C点之间的距离是0.4m；
（3）弹簧的最大弹性势能的大小是$\frac{253}{15}$J．

点评 本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，用位移与时间之比表示速度是常用的方法．要正确分析能量是如何转化，能运用能量守恒定律求弹性势能．