Question

17．某工厂生产流水线示意图如图所示，半径R=1m的水平面圆盘边缘E点固定一小桶．在圆盘直径DE正上方平行放置水平传送带，传送带右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，竖直高度h=1.25m，AB为一个与CD在同一竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，半径r=0.45m，且与水平传送带相切于B点，传送带BC部分的长度L=1.25m．质量m=0.2kg的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，传送带顺时针方向匀速转动时，则滑块到达C点时刚好与传送带速度一样水平抛出，恰好落入圆盘边缘的E处小桶内．取g=10m/s²．求：
（1）滑块到达圆弧轨道B点时对轨道的压力是多少？
（2）滑块到达C点时的速度是多大？滑块与传送带间的动摩擦因数μ是多少？
（3）当滑块到达B点时，若水平面的圆盘从图示位置以一定的角速度ω绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，滑块最终也能落入圆盘边缘的E处小桶内，圆盘转动的角速度ω最少应为多少？

Answer 1

分析 （1）滑块由A点到B过程中，只有重力做功，由动能定理求出滑块经过B点的速度大小，根据牛顿第二定律和第三定律求解滑块到达B点时对轨道的压力；
（2）滑块离开C后做平抛运动，要恰好落入圆盘边缘的小桶内，水平位移大小等于圆盘的半径R，根据平抛运动的规律求得滑块经过C点的速度，根据动能定理研究BC过程，求解动摩擦因数μ；
（3）滑块由B点到C点做匀减速运动，由运动学公式求出时间，滑块从B运动到小桶的总时间等于圆盘转动的时间，根据周期性求解ω应满足的条件．

解答 解：（1）滑块由A点到B，由动能定理得：mgr=$\frac{1}{2}$mv_B²；
解得：v_B=$\sqrt{2gr}$=3m/s
滑块到达B点时，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：F=3mg=6N
由牛顿第三定律得滑块到达B点时对轨道的压力大小为F′=F=6N，方向竖直向下
（2）滑块离开C后做平抛运动，由h=$\frac{1}{2}$gt₁²；
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.5s
滑块经过C点的速度 v_C=$\frac{R}{{t}_{1}}$=2m/s
滑块由B点到由C点的过程中，由动能定理得
-μmgx=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²；
解得：μ=0.2
（3）滑块由B点到由C点，由运动学关系：x=$\frac{{v}_{B}+{v}_{C}}{2}$t₂；
解得：t₂=0.5s
滑块从B运动到小桶的总时间为 t=t₁+t₂=1s
圆盘转动的角速度ω应满足条件：t=$\frac{2π•n}{ω}$
得ω=2nπrad/s（n=1、2、3、4┅）
答：（1）滑块到达圆弧轨道B点时对轨道的压力大小为6N，方向竖直向下．
（2）滑块到达C点时的速度是2m/s，滑块与传送带间的动摩擦因数μ是0.2．
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件是ω=2nπrad/s（n=1、2、3、4┅）．

点评 本题滑块经历三个运动过程，分段选择物理规律进行研究，关键是抓住圆盘与滑块运动的同时性，根据周期性求解ω应满足的条件．