Question

12．如图甲所示是最近市面上出现的一种儿童玩具“魔力飞转陀螺，”陀螺可绕竖直放置的金属轨道内外侧转动并发出彩色光芒，十分新奇，因此深受小孩子的喜爱，其物理原理如下：用特殊磁性材料制成的两金属圆轨竖直并排放置，用连接杆引出后固定在手柄上，陀螺中心两侧装有金属小杆，放置在两轨之间时恰好被吸引在两轨上；给陀螺一定的初速度，陀螺就可绕轨道做圆周运动，现使陀螺吸在轨道外侧绕轨道做圆周运动，如图乙所示，已知两金属轨道半径为R，陀骡质量为m，两轨道对陀螺的总吸引力陀螺自身重力的3倍，重力加速度为g，不考虑陀螺自身的旋转和陀螺中心两侧的金属小杆的粗细．
（1）若陀螺经过轨道最高点的速度为v，求每根轨道受到的弹力；
（2）实际发现，当陀螺绕轨道外侧运动时，速度不能太大，负责会飞离轨道，分别求陀螺在最高点和最低点的最大速度大小．

Answer 1

分析 （1）对陀螺受力分析，分析最高点的向心力来源，根据向心力公式即可求解；
（2）在最高点和最低点速度最大的临界条件是支持力为0，根据向心力公式分别求出最高点和最低点的最大速度；

解答 解：（1）${F}_{向}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
受力分析可知$mg+{F}_{引}^{\;}-{F}_{N}^{\;}$=$mg+3mg-{F}_{N}^{\;}$=$4mg-{F}_{N}^{\;}$提供向心力
$4mg-{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得${F}_{N}^{\;}=4mg-m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
每根轨道受到的弹力${F}_{N}^{′}=\frac{1}{2}{F}_{N}^{\;}$=$2mg-\frac{{v}_{\;}^{2}}{2R}$
（2）当提供的向心力不及所需，离心运动${F}_{N}^{\;}=0$
①最高点
${F}_{max}^{\;}=3mg+mg=4mg=m\frac{{v}_{max}^{2}}{R}$
此时${v}_{max}^{\;}=2\sqrt{gR}$
②最低点
${F}_{max}^{\;}=3mg-mg=2mg=m\frac{{v}_{max}^{2}}{R}$
此时${v}_{max}^{\;}=\sqrt{2gR}$
答：（1）若陀螺经过轨道最高点的速度为v，每根轨道受到的弹力为$2mg-\frac{{v}_{\;}^{2}}{2R}$；
（2）实际发现，当陀螺绕轨道外侧运动时，速度不能太大，负责会飞离轨道，陀螺在最高点的最大速度为$2\sqrt{gR}$，最低点的最大速度大小为$\sqrt{2gR}$

点评 本题考查竖直平面内的圆周运动的情况，在解答的过程中正确分析得出小球经过最高点和最低点的条件是解答的关键，正确写出向心力的表达式是解答的基础．