Question

如图所示，位于竖直平面上的半圆形光滑轨道，半径为R，AOB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H，在A点给质量为m的小球一水平向左的速度，发现小球恰好沿圆周到达B点，最后落在地面C点处；已知无论R等于多少，小球到达B点时的速度都是

5gR

．不计一切阻力．求：
（1）小球在A点时的水平速度为多大？
（2）小球刚运动到B点时，小球对轨道的压力为多大？
（3）比值R/H为多少时，小球落地点C与B水平距离S最远？该水平距离的最大值是多少？

Answer 1

（1）小球恰能通过A点，则mg=m

v02

R

得：v₀=

gR

（2）设轨道对小球的支持力为N，B点：N-mg=m

vB2

R

得：N=6mg
根据牛顿第三定律：小球对轨道的压力为6mg；
（3）小球离开B点后做平抛运动，水平方向：S=v_Bt
竖直方向：H-R=

1

2

gt²
联立得：S=

10R(H-2R)

当2R=H-2R时，即

R

H

=

1

4

时水平位移最大，S=

5

2

H；
答：（1）小球在A点时的水平速度为

gR

；
（2）小球刚运动到B点时，小球对轨道的压力为6mg；
（3）比值

R

H

为

1

4

多少时，小球落地点C与B水平距离S最远，该水平距离的最大值是

5

2

H．