Question

9．如图所示，光滑水平面上固定一半径为R的光滑水平圆形轨道，过圆心O相垂直的两虚线交圆弧于A、B、C、D四点，质量为M的乙球静置于B处，质量为m的甲球从A处沿圆弧切线方向以速度Vo开始运动，到达B处与乙球发生碰撞，碰撞时间很短可忽略不计，碰撞为弹性碰撞，两小球可视为质点．当乙球刚运动到D处时，两小球发生第二次碰撞．求：
（1）第一次碰撞前甲所受轨道弹力的大小：
（2）甲、乙两球质量之比$\frac{m}{M}$；
（3）甲与乙第二次碰撞后各自速度的大小．

Answer 1

分析 （1）对甲受力分析，根据牛顿第二定律列式即可求解；
（2）由题分析知，甲与乙第一次碰撞后必反向运动，速度大小必相等，碰撞过程中，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（3）设甲、乙第二次碰撞后各自速度大小为v_甲2、v_乙2，碰撞过程中，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；

解答 解：（1）甲与乙第一次碰撞前，对甲受力知受重力和轨道的支持力F_N，由牛顿第二定律：
${F}_{N}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
（2）由题分析知，甲与乙第一次碰撞后必反向运动，速度大小必相等，设甲、乙第一次碰撞后速度大小分别为v_甲1、v_乙1，以向右为正方向，有：
v_甲1=v_乙1             
由动量守恒定律：mv₀=m（-v_甲1）+Mv_乙1
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{甲1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{乙1}}^{2}$
解得：v_甲1=v_乙1=$\frac{{v}_{0}}{2}$，$\frac{m}{M}=\frac{1}{3}$                 
（3）设甲、乙第二次碰撞后各自速度大小为v_甲2、v_乙2，
由动量守恒定律：mv_甲1+M（-v_乙1）=mv_甲2+Mv_乙2
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{甲1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{乙1}}^{2}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{甲2}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{乙2}}^{2}$
解得：v_甲2=-v₀，v_乙2=0 
即甲与乙第二次碰撞后各自速度大小分别为v₀和0．
答：（1）第一次碰撞前甲所受轨道弹力的大小为$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$：
（2）甲、乙两球质量之比$\frac{m}{M}$为$\frac{1}{3}$；
（3）甲与乙第二次碰撞后各自速度的大小分别为v₀和0．

点评 本题主要考查了动量守恒定律及能量守恒定律的应用，能够知道甲与乙第一次碰撞后必反向运动，速度大小必相等，难度适中．