Question

18．如图所示，在空间内有一直角坐标系xOy，直线OP与x轴正方向夹角为30°，第一象限内有两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的理想边界，OP上方区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B，在第四象限内有一沿x轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的质子（不计重力及质子对磁场、电场的影响）以速度v从O点沿OP成30°角方向垂直磁场进入区域Ⅰ，质子先后通过磁场区域Ⅰ和Ⅱ后，恰好垂直通过x轴上的Q点（未画出）进入第四象限内的匀强电场中，最后从y轴上的A点与y轴负方向成60°角射出．求：
（1）区域II中磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度E的大小．

Answer 1

分析 （1）质子在两个磁场中由洛伦兹力提供向心力，均做匀速圆周运动．根据圆的对称性可知，质子从A点出磁场I时的速度方向与OP的夹角为30⁰，即与x轴平行．在区域II中，由题分析可知，质子运动$\frac{1}{4}$圆周，由几何知识作出轨迹，如图．由几何关系，得到质子在两个磁场中轨迹半径与OA的关系，由牛顿第二定律研究两个磁感应强度的关系，求解区域II中磁场的磁感应强度大小．
（2）由几何知识求出Q点到O点的距离，质子在第四象限电场中做类平抛运动，由类平抛运动知识可以求出电场强度大小．

解答 解：（1）质子在磁场中做圆周运动，
由牛顿第二定律知：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
设质子在区域Ⅰ的半径为r₁、在区域Ⅱ的半径为r₂，区域Ⅱ中磁感应强度为B′，质子的运动轨迹如图所示，由几何关系知质子从C点出磁场Ⅰ时速度方向与OP的夹角为30°，所以质子在区域Ⅱ中的轨迹为$\frac{1}{4}$圆周，质子在区域Ⅰ中的运动轨迹对应的圆心角为60°，
则：OC=r₁，r₂=$\frac{{r}_{1}}{2}$，即：B′=2B；
（2）Q点到O点的距离为：s=r₁cos 30°+r₂，
质子从A点射出时的水平分速度：v_x=vtan60°=$\sqrt{3}$v，
质子进入第四象限做类平抛运动，有：
v_x=at，其中：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{qE}{m}$，即：$\sqrt{3}$v=$\frac{qE}{m}$t，
s=$\frac{1}{2}$×$\frac{qE}{m}$×t²，联立解得：E=$\frac{3（\sqrt{3}-1）Bv}{2}$；
答：（1）区域II中磁场的磁感应强度大小为2B；
（2）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{3（\sqrt{3}-1）Bv}{2}$．

点评 带电粒子通过磁场的边界时，如果边界是直线，根据圆的对称性得到，带电粒子入射速度方向与边界的夹角等于出射速度方向与边界的夹角，这在处理有界磁场的问题常常用到．