Question

17．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R，宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F₁=F₀；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F₂=$\frac{{F}_{0}}{2}$．假设第三次在赤道平面内深度为$\frac{R}{2}$的隧道底部，示数为F₃；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F₄，已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（　　）

• A． F₃=$\frac{{F}_{0}}{4}$，F₄=$\frac{{F}_{0}}{4}$
• B． F₃=$\frac{{F}_{0}}{4}$，F₄=0
• C． F₃=$\frac{15{F}_{0}}{4}$，F₄=0
• D． F₃=4F₀，F₄=$\frac{{F}_{0}}{4}$

Answer 1

分析 计算质量均匀分布的球体对物体的万有引力时，可以近似看做是质点之间的万有引力，由万有引力定律分布写出几种不同的情况下的表达式，然后结合向心力的表达进行比较即可．

解答 解：设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力：${F}_{1}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$=F₀
由于球体的体积公式为：V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$
由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F₂=$\frac{{F}_{{\;}_{0}}}{2}$．则：${F}_{n2}={F}_{1}-{F}_{2}=\frac{1}{2}{F}_{0}=m{ω}^{2}•R$
所以半径$\frac{R}{2}$以内的部分的质量为：$M′=\frac{（\frac{R}{2}）^{3}}{{R}^{3}}•M$=$\frac{1}{8}M$
物体在$\frac{R}{2}$处受到的万有引力：${F}_{3}′=\frac{GM′m}{（\frac{R}{2}）^{2}}=\frac{1}{2}{F}_{1}$=$\frac{1}{2}{F}_{0}$
物体需要的向心力：${F}_{n3}=m{ω}^{2}•\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{ω}^{2}R=\frac{1}{4}{F}_{0}$
所以在赤道平面内深度为$\frac{R}{2}$的隧道底部，示数为：F₃=${F}_{3}′-{F}_{n3}=\frac{1}{2}{F}_{0}-\frac{1}{4}{F}_{0}=\frac{1}{4}{F}_{0}$
第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0．
所以选项B正确，选项ACD错误．
故选：B

点评 解决本题的关键知道在行星的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．同时要注意在绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时物体处于完全失重状态．