Question

如图甲所示，两根相距为L的金属轨道固定于水平面上，导轨电阻不计，一根质量为m、长为L、电阻为R的金属棒两端放于导轨上，导轨与金属棒间的动摩擦因数为?，棒与导轨的接触电阻不计．导轨左端连有阻值为2R的电阻，在电阻两端接有电压传感器并与计算机相连．有n段竖直向下的宽度为a间距为b的匀强磁场（a＞b），磁感强度为B、金属棒初始位于OO′处，与第一段磁场相距2a．

（1）若金属棒有向右的初速度v₀，为使金属棒保持v₀一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一个水平向右的拉力，求金属棒进入磁场前拉力F₁的大小和进入磁场后拉力F₂的大小；
（2）在（1）的情况下，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力所做的功；
（3）若金属棒初速为零，现对棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿过各段磁场，发现计算机显示出的电压随时间以固定的周期做周期性变化，在给定的坐标图乙中定性地画出计算机显示的图象（从金属棒进入第一段磁场开始计时）．
（4）在（3）的情况下，求整个过程导轨左端电阻上产生的热量，以及金属棒从第n段磁场穿出时的速度．

Answer 1

分析：（1）金属棒保持v₀一直向右匀速运动，进入磁场前，拉力F₁与滑动摩擦力平衡，由平衡条件可解；金属棒在磁场中运动时，拉力与滑动摩擦力、安培力平衡，推导出安培力表达式，可解．
（2）分两段求功：一段在非磁场区域，运动的位移为[2a+（n-1）b]，可求出功；另一段在在磁场区域，每一段拉力做功相同，共有n段，由功的公式可求解．
（3）要使棒进入各磁场的速度都相同，金属棒在无磁场区域做加速运动，在磁场区域做减速运动，则穿过各段磁场时，感应电动势减小，路端电压减小，根据速度的变化情况，可作出电压图象．
（4）进入磁场前，拉力和摩擦力做功，根据动能定理，求出金属棒进入磁场时的速度．进入在磁场时，拉力、摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律求出热量．

解答：解：
（1）金属棒进入磁场前，F₁=f=μN=μmg
金属棒在磁场中运动时，F₂=f+F_安=f+BIL
又I=

E

2R+R

=

BLv0

3R

，
联立得  F2=μmg+

B2L2v0

3R

（2）在非磁场区域外力F₁所做的功为  W₁=F₁[2a+（n-1）b]=μmg[2a+（n-1）b]
在磁场区域外力F₂所做的功为  W2=F2×na=(μmg+

B2L2v0

3R

)na
在此过程拉力所做的总功  W=W1+W2=μmg[(n+2)a+(n-1)b]+

nB2L2avo

3R

（3）要使棒进入各磁场的速度都相同，金属棒在无磁场区域做加速运动，在磁场区域做减速运动，则穿过各段磁场时，感应电动势减小，路端电压减小，而且速度减小时，安培力减小，加速度减小，则路端电压减小变化慢，电压图象的斜率减小，可作出电压图象如图．
（4）进入各磁场时的速度均相同，等于从OO?运动2a位移时的速度，根据动能定理得
   (F-μmg)×2a=

1

2

mv′2
每经过一段磁场产生的电能相同，设为E_电，根据动能定理，有
     Fa-μmga-E电=

1

2

mv2-

1

2

mv′2
所以

E电=Fa-μmga- 1 2 mv2+ 1 2 mv′2 =Fa-μmga-(F-μmg)(2a-b)+(F-μmg)×2a =(F-μmg)(a+b)

Q=

nE电

3R

×2R=

2

3

n(F-μmg)(a+b)，
解得 v=

(F-μmg)(4a-2b) m

答：（1）金属棒进入磁场前拉力F₁的大小为μmg，进入磁场后拉力F₂的大小为μmg+

B2L2v0

3R

；
（2）金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力所做的功为μmg[（n+2）a+（n-1）b]+

nB2L2av0

3R

；
（3）电压图象如图；
（4）整个过程导轨左端电阻上产生的热量为

2

3

n(F-μmg)(a+b)，金属棒从第n段磁场穿出时的速度为

(F-μmg)(4a-2b) m

．

点评：题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件．